Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
em relação a
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente utilizando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar dividir a integral de uma forma que facilite a aplicação dessa técnica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. Para a integral
, vou escolher:
Agora, vamos encontrar
e
:
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Agora, precisamos calcular
. Vamos usar novamente a integração por partes para essa integral.
Escolhendo:
Então:
Aplicando:
Passo 4
Voltando ao passo anterior:
Podemos juntar os termos semelhantes para simplificar a expressão final.
Resposta
A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração.
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j)
Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais (30 pontos):
Esboce a região delimitada pelas curvas
e
. Determine a área desta região.
(20 pontos)
(20 pontos)