Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente utilizando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar dividir a integral de uma forma que facilite a aplicação dessa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Para a integral , vou escolher:
Agora, vamos encontrar e :

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Agora, precisamos calcular . Vamos usar novamente a integração por partes para essa integral.
Escolhendo:
Então:
Aplicando:

Passo 4

Voltando ao passo anterior:
Podemos juntar os termos semelhantes para simplificar a expressão final.

Resposta

A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):
j)
Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais (30 pontos):
Esboce a região delimitada pelas curvas e . Determine a área desta região.
(20 pontos)