Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):
integral(ln x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente utilizando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar dividir a integral de uma forma que facilite a aplicação dessa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u = (ln x)^2 e dv = dx e qual será du = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx e v = integral dv = integral dx = x . Para a integral , vou escolher:
Agora, vamos encontrar e :

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral (ln x)^2 , dx = uv - integral v , du = x (ln x)^2 - integral x cdot 2 ln xx , dx
Simplificando a integral restante:
x (ln x)^2 - 2 integral ln x , dx
Agora, precisamos calcular u = ln x e dv = dx . Vamos usar novamente a integração por partes para essa integral.
Escolhendo:
du = 1x , dx e v = x
Então:
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x , dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x
Aplicando:

Passo 4

Voltando ao passo anterior:
integral (ln x)^2 , dx = x (ln x)^2 - 2 (x ln x - x) = x (ln x)^2 - 2x ln x + 2x
Podemos juntar os termos semelhantes para simplificar a expressão final.

Resposta

A integral de integral (ln x)^2 , dx = x (ln x)^2 - 2x ln x + 2x + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

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