Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais (30 pontos):
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de usando frações parciais. Isso faz parte do estudo de integrais racionais, onde a gente decompõe a expressão em partes mais simples para facilitar a integração. Vamos precisar identificar constantes que vão quebrar essa fração em termos que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Como temos um fator ao quadrado e outro fator , nossa decomposição vai ficar assim:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por :
Isso nos dá uma equação que devemos resolver para encontrar os valores de , e .
Passo 4
Para facilitar, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação:
Escolha :
Escolha :
Passo 5
Agora, vamos encontrar . Podemos expandir a equação original e comparar os coeficientes:
Expanda :
Agrupando os termos:
Dividindo isso com 1 do lado esquerdo, igualamos os coeficientes:
Substituindo e na primeira equação:
Passo 6
Agora que temos , e , podemos escrever a integral original como: