Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais (30 pontos):
integral 1(x+5)^2(x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de 1(x+5)^2(x-1) usando frações parciais. Isso faz parte do estudo de integrais racionais, onde a gente decompõe a expressão em partes mais simples para facilitar a integração. Vamos precisar identificar constantes que vão quebrar essa fração em termos que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração 1(x+5)^2(x-1) como uma soma de frações parciais. Como temos um fator (x+5) ao quadrado e outro fator (x-1), nossa decomposição vai ficar assim:
1(x+5)^2(x-1) = Ax-1 + Bx+5 + C(x+5)^2
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por (x+5)^2(x-1):
1 = A(x+5)^2 + B(x-1)(x+5) + C(x-1)
Isso nos dá uma equação que devemos resolver para encontrar os valores de A, B e C.

Passo 4

Para facilitar, vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação:
  • Escolha x = 1:
    1 = A(1+5)^2 + B(0) + C(0) Rightarrow 1 = 36A Rightarrow A = 136
  • Escolha x = -5:
    1 = A(0) + B(0) + C(-6) Rightarrow 1 = -6C Rightarrow C = -16

Passo 5

Agora, vamos encontrar B. Podemos expandir a equação original e comparar os coeficientes:
Expanda A(x+5)^2 + B(x-1)(x+5) + C(x-1):
A(x^2 + 10x + 25) + B(x^2 + 4x - 5) + C(x - 1)
Agrupando os termos:
(A + B)x^2 + (10A + 4B + C)x + (25A - 5B - C)
Dividindo isso com 1 do lado esquerdo, igualamos os coeficientes:
  1. A + B = 0
  2. 10A + 4B + C = 0
  3. 25A - 5B - C = 1
Substituindo A = 136 e C = -16 na primeira equação:
136 + B = 0 Rightarrow B = -136

Passo 6

Agora que temos A, B e C, podemos escrever a integral original como:
integral ( 136x - 1 + -136x + 5 + -16(x + 5)^2 ) dx
Simplificando:
136 integral 1x - 1 dx - 136 integral 1x + 5 dx - 16 integral 1(x + 5)^2 dx

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de 1x - 1:
    integral 1x - 1 dx = ln|x - 1|
  2. Integral de 1x + 5:
    integral 1x + 5 dx = ln|x + 5|
  3. Integral de 1(x + 5)^2:
    integral 1(x + 5)^2 dx = -1x + 5

Passo 8

Agora, substituindo as integrais:
136 ln|x - 1| - 136 ln|x + 5| - 16 ( -1x + 5 ) + C
Simplificando:
136 ln|x - 1x + 5| + 16(x + 5) + C

Resposta

A integral de 1(x+5)^2(x-1) é:
136 ln|x - 1x + 5| + 16(x + 5) + C

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