Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais (30 pontos):

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de usando frações parciais. Isso faz parte do estudo de integrais racionais, onde a gente decompõe a expressão em partes mais simples para facilitar a integração. Vamos precisar identificar constantes que vão quebrar essa fração em termos que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Como temos um fator ao quadrado e outro fator , nossa decomposição vai ficar assim:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por :
Isso nos dá uma equação que devemos resolver para encontrar os valores de , e .

Passo 4

Para facilitar, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação:
  • Escolha :
  • Escolha :

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Podemos expandir a equação original e comparar os coeficientes:
Expanda :
Agrupando os termos:
Dividindo isso com 1 do lado esquerdo, igualamos os coeficientes:
Substituindo e na primeira equação:

Passo 6

Agora que temos , e , podemos escrever a integral original como:
Simplificando:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de :
  2. Integral de :
  3. Integral de :

Passo 8

Agora, substituindo as integrais:
Simplificando:

Resposta

A integral de é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):
Esboce a região delimitada pelas curvas e . Determine a área desta região.
(20 pontos)
Simplifique a expressão