Esboce a região delimitada pelas curvas
e
. Determine a área desta região.
(20 pontos)
(20 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenhar a região limitada pelas curvas
e
e depois calcular a área dessa região. Vamos usar conceitos de funções quadráticas e cálculo integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, onde
. Isso nos ajuda a saber os limites de integração.
Passo 3
Vamos resolver a equação
:
Somando
em ambos os lados:
Adicionando 4 aos dois lados:
Dividindo por 2:
Então, tirando a raiz quadrada:
Passo 4
Agora sabemos que as curvas se interceptam em
e
. Esses serão nossos limites de integração para calcular a área.
Passo 5
A área entre duas curvas é dada pela integral do valor superior menos o valor inferior, de um limite ao outro. Aqui, a curva
está acima de
nesse intervalo.
Então, a fórmula para a área
é:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, agora temos:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de
a
:
Passo 8
Calculando para
:
E para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.