Esboce a região delimitada pelas curvas y=x^2-4 e y=4-x^2. Determine a área desta região.
(20 pontos)
integral u d v=u v-integral v d u A=integralx0^x1 2 pi f(x) raiz1+f^prime(x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenhar a região limitada pelas curvas e e depois calcular a área dessa região. Vamos usar conceitos de funções quadráticas e cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, onde . Isso nos ajuda a saber os limites de integração.

Passo 3

Vamos resolver a equação x^2 - 4 = 4 - x^2 :
2x^2 - 4 = 4
Somando 2x^2 = 8 em ambos os lados:
x^2 = 4
Adicionando 4 aos dois lados:
x = pm 2
Dividindo por 2:
Então, tirando a raiz quadrada:

Passo 4

Agora sabemos que as curvas se interceptam em e . Esses serão nossos limites de integração para calcular a área.

Passo 5

A área entre duas curvas é dada pela integral do valor superior menos o valor inferior, de um limite ao outro. Aqui, a curva A = integral-2^2 ( (4 - x^2) - (x^2 - 4) ) dx está acima de nesse intervalo.
Então, a fórmula para a área é:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(4 - x^2) - (x^2 - 4) = 4 - x^2 - x^2 + 4 = 8 - 2x^2
Então, agora temos:
A = integral-2^2 (8 - 2x^2) dx

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral (8 - 2x^2) dx = 8x - 23x^3 + C
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de A = [ 8x - 23x^3 ]-2^2 a :

Passo 8

Calculando para 8(2) - 23(2)^3 = 16 - 163 = 483 - 163 = 323 :
8(-2) - 23(-2)^3 = -16 - -163 = -16 + 163 = -483 + 163 = -323
E para :

Passo 9

Subtraindo os valores:
A = 323 - (-323) = 323 + 323 = 643

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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