Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica de integração bastante útil quando temos uma função composta.

Passo 2

O primeiro passo na substituição é escolher uma parte da função para ser substituída por uma nova variável . Observando a integral , vemos que o expoente está dentro da função exponencial e sua derivada está presente como coeficiente . Então, vamos definir:
Isso simplifica a parte complicada da integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculando:
Isolando :
Mas note que na nossa integral original temos um multiplicando a exponencial, o que vai ajudar a simplificar.

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Os termos se cancelam, deixando uma integral mais simples.

Passo 5

Agora, vamos integrar em termos de :
Onde é a constante de integração.

Resposta

Substituindo de volta, a integral resulta em:

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j)
b) Mostre que existe tal que
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):
Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais (30 pontos):