Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral de
em relação a
. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica de integração bastante útil quando temos uma função composta.
Passo 2
O primeiro passo na substituição é escolher uma parte da função para ser substituída por uma nova variável
. Observando a integral
, vemos que o expoente
está dentro da função exponencial e sua derivada está presente como coeficiente
. Então, vamos definir:
Isso simplifica a parte complicada da integral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Calculando:
Isolando
:
Mas note que na nossa integral original temos um
multiplicando a exponencial, o que vai ajudar a simplificar.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Os termos
se cancelam, deixando uma integral mais simples.
Passo 5
Agora, vamos integrar em termos de
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Substituindo
de volta, a integral resulta em:
Exercícios relacionados
j)
b) Mostre que existe
tal que
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):
Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais (30 pontos):