j)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: queremos encontrar o limite de quando se aproxima de pela esquerda, ou seja, . Estamos lidando com limites envolvendo funções racionais, que são quocientes de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto do ponto de interesse e verificar se a substituição direta funciona ou se precisamos analisar os sinais das expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de por diretamente na expressão para ver se obtemos um resultado definido:
Aqui, percebemos que o denominador se torna , o que significa que a expressão não está definida em . Isso nos indica que provavelmente teremos uma assíntota vertical nesse ponto e que o limite pode ser infinita.

Passo 3

Como a substituição direta resultou em uma divisão por zero, precisamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de pela esquerda. Vamos examinar os sinais do numerador e do denominador:
  • Numerador: quando está próximo de pela esquerda, digamos , então (positivo).
  • Denominador: quando , então (negativo).
Como se aproxima de pela esquerda, o denominador está próximo de e negativo, enquanto o numerador está positivo e próximo de . Portanto, a fração tende a .

Resposta

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b) Mostre que existe tal que
Sugestão: Para : e
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):