j)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: queremos encontrar o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda, ou seja,
. Estamos lidando com limites envolvendo funções racionais, que são quocientes de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto do ponto de interesse e verificar se a substituição direta funciona ou se precisamos analisar os sinais das expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir o valor de
por
diretamente na expressão para ver se obtemos um resultado definido:
Aqui, percebemos que o denominador se torna
, o que significa que a expressão não está definida em
. Isso nos indica que provavelmente teremos uma assíntota vertical nesse ponto e que o limite pode ser infinita.
Passo 3
Como a substituição direta resultou em uma divisão por zero, precisamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de
pela esquerda. Vamos examinar os sinais do numerador e do denominador:
- Numerador:
quando está próximo de pela esquerda, digamos , então (positivo). - Denominador:
quando , então (negativo).
Como
se aproxima de
pela esquerda, o denominador está próximo de
e negativo, enquanto o numerador está positivo e próximo de
. Portanto, a fração
tende a
.