b) Mostre que existe
tal que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que existe um número positivo
tal que, para todo
maior que
, a fração
é maior que zero e menor que
. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento dessa fração quando
cresce, ou seja, quando
tende para o infinito.
Passo 2
Vamos começar garantindo que a fração
seja positiva. Observamos que, para
:
- O numerador
é sempre positivo, já que qualquer número positivo somado a 3 continua positivo. - O denominador
também é positivo para grande o suficiente, pois domina os demais termos quando aumenta.
Portanto, para
suficientemente grande, ambos, numerador e denominador, são positivos, garantindo que a fração seja positiva.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que
. Para isso, vamos resolver a desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo para
grande):
Simplificando:
Portanto, para
, a fração será menor que
.
Passo 4
Para finalizar, combinamos as duas condições que encontramos:
- A fração é positiva para
. - A fração é menor que
para .
Assim, escolhemos
. Isso porque, para qualquer
, as duas condições serão satisfeitas simultaneamente.
Resposta
Existe um número positivo
tal que, para todo
, temos: