Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que existe um número positivo tal que, para todo maior que , a fração é maior que zero e menor que . Para resolver isso, vamos analisar o comportamento dessa fração quando cresce, ou seja, quando tende para o infinito.
Passo 2
Vamos começar garantindo que a fração seja positiva. Observamos que, para :
O numerador é sempre positivo, já que qualquer número positivo somado a 3 continua positivo.
O denominador também é positivo para grande o suficiente, pois domina os demais termos quando aumenta.
Portanto, para suficientemente grande, ambos, numerador e denominador, são positivos, garantindo que a fração seja positiva.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que . Para isso, vamos resolver a desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por (que é positivo para grande):
Simplificando:
Portanto, para , a fração será menor que .
Passo 4
Para finalizar, combinamos as duas condições que encontramos:
A fração é positiva para .
A fração é menor que para .
Assim, escolhemos . Isso porque, para qualquer , as duas condições serão satisfeitas simultaneamente.
Resposta
Existe um número positivo tal que, para todo , temos: