Calcule as integrais, justificando o raciocínio:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado me pede para calcular a integral de
. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, facilitando o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a parte do integrando que complica as coisas:
. Notamos que no expoente temos
, e multiplicado por
fora da exponencial. Isso sugere que podemos usar a substituição para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
igual ao que está no expoente:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
:
Isso significa que:
Ou, isolando
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Podemos tirar a constante
para fora da integral:
Passo 5
Agora, a integral de
em relação a
é simples:
Portanto:
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta por
:
Resposta
A integral é:
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Derive as funções a seguir:
.
Calcule os seguintes limites:
Encontre os pontos críticos das seguintes funções: