Calcule as integrais, justificando o raciocínio: integral x e^2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado me pede para calcular a integral de . Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, facilitando o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a parte do integrando que complica as coisas: . Notamos que no expoente temos , e multiplicado por fora da exponencial. Isso sugere que podemos usar a substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = 2x^2 igual ao que está no expoente:
dudx = 4x
Agora, precisamos encontrar a derivada de du = 4x , dx em relação a x , dx = du4 para substituir :
Isso significa que:
Ou, isolando :

Passo 4

Substituímos integral x e^2x^2 , dx = integral e^u cdot du4 e 14 integral e^u , du na integral original:
Podemos tirar a constante para fora da integral:

Passo 5

Agora, a integral de integral e^u , du = e^u + C em relação a 14 e^u + C é simples:
Portanto:

Passo 6

Finalmente, substituímos 14 e^2x^2 + C de volta por :

Resposta

A integral é:
integral x e^2x^2 , dx = 14 e^2x^2 + C

Exercícios relacionados