Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um integral que representa uma área :
Esse problema envolve cálculo, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para resolver o integral e encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. É uma técnica que ajuda a integrar produtos de funções e é baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
Aqui, e são partes que vamos escolher da nossa integral original. A ideia é escolher de forma que sua derivada seja mais simples e de forma que sua integral também seja fácil de achar.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso integral. No nosso caso, queremos identificar quais partes da nossa integral correspondem a e . Olhando para a expressão:
Podemos escolher:
Faz sentido porque é uma função simples de derivar e pode ser integrada.

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
  1. Derivada de :
  1. Integral de para encontrar :
Essa integral de pode parecer complicada, mas vamos manter assim por enquanto.

Passo 5

Agora, substituímos , , , e na fórmula da integração por partes:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Note que o segundo termo ainda envolve uma integral dupla, o que pode ser complicado. Dependendo do que é, podemos precisar de mais informações para avançar. Se for uma função específica, podemos tentar resolver as integrais; caso contrário, ficamos com a expressão geral.

Resposta

Após aplicar a integração por partes, a área é dada por:
Para obter um valor numérico ou uma expressão mais simplificada, seria necessário conhecer a função . Sem essa informação específica, a expressão acima é a forma geral da solução usando integração por partes.

Exercícios relacionados

Derive as funções a seguir: .
Derive as funções a seguir: ;
Calcule as integrais, justificando o raciocínio:
Calcule os seguintes limites: