Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um integral que representa uma área
:
Esse problema envolve cálculo, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para resolver o integral e encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. É uma técnica que ajuda a integrar produtos de funções e é baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
Aqui,
e
são partes que vamos escolher da nossa integral original. A ideia é escolher
de forma que sua derivada seja mais simples e
de forma que sua integral também seja fácil de achar.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso integral. No nosso caso, queremos identificar quais partes da nossa integral correspondem a
e
. Olhando para a expressão:
Podemos escolher:
Faz sentido porque
é uma função simples de derivar e
pode ser integrada.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivada de
:
- Integral de
para encontrar :
Essa integral de
pode parecer complicada, mas vamos manter assim por enquanto.
Passo 5
Agora, substituímos
,
,
, e
na fórmula da integração por partes:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Note que o segundo termo ainda envolve uma integral dupla, o que pode ser complicado. Dependendo do que
é, podemos precisar de mais informações para avançar. Se
for uma função específica, podemos tentar resolver as integrais; caso contrário, ficamos com a expressão geral.
Resposta
Após aplicar a integração por partes, a área
é dada por:
Para obter um valor numérico ou uma expressão mais simplificada, seria necessário conhecer a função
. Sem essa informação específica, a expressão acima é a forma geral da solução usando integração por partes.
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Derive as funções a seguir:
.
Derive as funções a seguir:
;
Calcule as integrais, justificando o raciocínio:
Calcule os seguintes limites: