Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Então, galera, vamos dar uma olhada no problema: queremos calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Aqui estamos lidando com limites, uma parte importante do cálculo que estuda o comportamento de funções próximas a certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções logaritmo natural e a cotangente se comportam perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada função faz. A função tende a quando se aproxima de , ou seja, do lado positivo. Já a cotangente é igual a . Sabemos que quando se aproxima de zero, se aproxima de zero e se aproxima de 1, então tende a .

Passo 3

Agora, observamos que temos uma forma indeterminada do tipo . Para resolver esse tipo de limite, uma das ferramentas mais úteis é a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Primeiro, derivamos o numerador , cuja derivada é . Depois, derivamos o denominador . Sabemos que , e usando a regra do quociente, sua derivada é .

Passo 5

Substituímos essas derivadas no limite original:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão. Sabemos que é aproximadamente igual a quando é pequeno, então . Substituindo isso, temos:

Passo 7

Finalmente, calculamos o limite de quando se aproxima de :

Resposta

O limite é igual a .

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