Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada no problema: queremos calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão
. Aqui estamos lidando com limites, uma parte importante do cálculo que estuda o comportamento de funções próximas a certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções logaritmo natural
e a cotangente
se comportam perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada função faz. A função
tende a
quando
se aproxima de
, ou seja, do lado positivo. Já a cotangente
é igual a
. Sabemos que quando
se aproxima de zero,
se aproxima de zero e
se aproxima de 1, então
tende a
.
Passo 3
Agora, observamos que temos uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver esse tipo de limite, uma das ferramentas mais úteis é a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Primeiro, derivamos o numerador
, cuja derivada é
. Depois, derivamos o denominador
. Sabemos que
, e usando a regra do quociente, sua derivada é
.
Passo 5
Substituímos essas derivadas no limite original:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão. Sabemos que
é aproximadamente igual a
quando
é pequeno, então
. Substituindo isso, temos:
Passo 7
Finalmente, calculamos o limite de
quando
se aproxima de
:
Resposta
O limite é igual a
.
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