Derive as funções a seguir:
.
Passo 1
Então, a gente tem que derivar a função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente da derivação de funções que são produtos de duas partes. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e conhecer como derivar funções básicas como potências e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Regra do Produto. Ela serve quando a gente tem uma função que é o produto de duas outras funções, tipo
e
. A regra diz que a derivada de
é:
Ou seja, a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Passo 3
Na nossa função, podemos identificar:
Vamos precisar derivar cada uma dessas partes separadamente.
Passo 4
Vamos derivar
. A regra para derivar potências de
é trazer o expoente para frente e diminuir o expoente em 1:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Para derivar logaritmos naturais, a regra é:
Aqui,
, então
. Portanto:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Produto:
Substituindo:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão final:
Resposta
A derivada da função
é:
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Derive as funções a seguir:
;
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Calcule as integrais, justificando o raciocínio: