Derive as funções a seguir: .

Passo 1

Então, a gente tem que derivar a função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente da derivação de funções que são produtos de duas partes. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e conhecer como derivar funções básicas como potências e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Regra do Produto. Ela serve quando a gente tem uma função que é o produto de duas outras funções, tipo e . A regra diz que a derivada de é:
Ou seja, a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.

Passo 3

Na nossa função, podemos identificar:
Vamos precisar derivar cada uma dessas partes separadamente.

Passo 4

Vamos derivar . A regra para derivar potências de é trazer o expoente para frente e diminuir o expoente em 1:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Para derivar logaritmos naturais, a regra é:
Aqui, , então . Portanto:

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Produto:
Substituindo:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão final:

Resposta

A derivada da função é:

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Derive as funções a seguir: ;
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Calcule as integrais, justificando o raciocínio: