Considere a função definida a seguir e determine os possíveis valores do parâmetro tais que esta função seja contínua em todo .
Para cada um destes valores, esboce o gráfico da função. (20 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de expressão dependendo do valor de . O objetivo é descobrir para quais valores de essa função é contínua em todo o conjunto dos números reais (). Isso significa que não pode ter “saltos” ou “buracos” no gráfico da função. Para resolver isso, vamos precisar verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda, que são e .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade em .
Limite pela esquerda ():
Quando , a função é . Então:
Limite pela direita ():
Quando , a função é . Então:
Valor da função em :
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e iguais ao valor da função em , a função é contínua nesse ponto para qualquer valor de .
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade em .
Limite pela esquerda ():
Ainda na parte onde , temos:
Limite pela direita ():
Quando , a função é . Então:
Valor da função em :
Como está na parte :
Para a função ser contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais:
Vamos resolver essa equação:
Fatorando:
Então:
Resposta
Os valores de que tornam a função contínua em todo são e .