Considere a função definida a seguir e determine os possíveis valores do parâmetro a in R tais que esta função seja contínua em todo R.
f(x) = { cos(x), se x <= 0; 1 - a x^2, se 0 < x <= 1; a^2 - 5 x, se x > 1 }
Para cada um destes valores, esboce o gráfico da função. (20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de expressão dependendo do valor de . O objetivo é descobrir para quais valores de essa função é contínua em todo o conjunto dos números reais ( ). Isso significa que não pode ter “saltos” ou “buracos” no gráfico da função. Para resolver isso, vamos precisar verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda, que são e .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade em .
  • Limite pela esquerda ( ):
    Quando , a função é . Então:
  • Limite pela direita ( ):
    Quando , a função é . Então:
  • Valor da função em :
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e iguais ao valor da função em , a função é contínua nesse ponto para qualquer valor de .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade em .
  • Limite pela esquerda ( ):
    Ainda na parte onde , temos:
  • Limite pela direita ( ):
    Quando , a função é . Então:
  • Valor da função em :
    Como está na parte :
Para a função ser contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais:
Vamos resolver essa equação:
Fatorando:
Então:

Resposta

Os valores de que tornam a função contínua em todo são e .

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