Calcule as integrais:
(k) integral sen(3 x) cos (2 x) d x;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de . Para isso, vamos usar uma técnica de integrais de produtos de senos e cossenos, transformando o produto em uma soma utilizando identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que relaciona o produto de seno e cosseno com a soma de senos:
sin(A) cos(B) = sin(A+B) + sin(A-B)2
Nesse caso, temos e .

Passo 3

Aplicando a identidade no nosso integral:
sin(3x) cos(2x) = sin(3x + 2x) + sin(3x - 2x)2 = sin(5x) + sin(x)2

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral sin(3x) cos(2x) ,dx = integral sin(5x) + sin(x)2 ,dx = 12 integral sin(5x) ,dx + 12 integral sin(x) ,dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 12 integral sin(5x) ,dx = 12 (-cos(5x)5) = -cos(5x)10 é 12 integral sin(x) ,dx = 12 (-cos(x)) = -cos(x)2 :

Passo 6

Finalmente, somamos os resultados das integrais e adicionamos a constante de integração -cos(5x)10 - cos(x)2 + C :

Resposta

A integral de -cos(5x)10 - cos(x)2 + C é:

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