Calcule as integrais:
(l)
;
(l)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
. Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar lembrar como funciona essa técnica e aplicar direitinho para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma fórmula que a gente usa quando tem o produto de duas funções na integral. A fórmula é:
Aqui, a ideia é escolher qual parte da integral será
e qual será
de forma que a segunda integral seja mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos escolher nossas funções para aplicar a integração por partes:
Assim, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando
e
:
- Para
:
- Para
:
(ignoramos a constante de integração aqui, pois ela será considerada na resposta final)
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Olha só, percebemos que a última integral é a própria que estamos tentando calcular, ou seja, ela é igual a
:
Vamos isolar
:
Resposta
A integral resulta em:
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Calcule as integrais:
§ ;
§
Calcule as integrais:
(k) ;
(k)
Suponha que a função definida por
possua uma representação em série de potências em torno de
. Em cada item, faça o que se pede. ©
pontos] Qual o valor da soma
? Justifique sua resposta.
Suponha que a função definida por
possua uma representação em série de potências em torno de
. Em cada item, faça o que se pede. (a)
pontos
Mostre que
.