Calcule as integrais:
(l) integral tan (x) ln (cos x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar lembrar como funciona essa técnica e aplicar direitinho para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma fórmula que a gente usa quando tem o produto de duas funções na integral. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, a ideia é escolher qual parte da integral será e qual será de forma que a segunda integral seja mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos escolher nossas funções para aplicar a integração por partes:
Assim, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = ddx [ln(cos x)] , dx = -sin xcos x , dx = -tan(x) , dx e v = integral tan(x) , dx = -ln|cos x| + C :
  • Para :
  • Para :
(ignoramos a constante de integração aqui, pois ela será considerada na resposta final)

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral tan(x) ln(cos x) , dx = ln(cos x) cdot (-ln|cos x|) - integral (-ln|cos x|) cdot (-tan x) , dx
Simplificando:
integral tan(x) ln(cos x) , dx = -(ln cos x)^2 - integral ln(cos x) cdot tan x , dx

Passo 6

Olha só, percebemos que a última integral é a própria que estamos tentando calcular, ou seja, ela é igual a I = -(ln cos x)^2 - I :
2I = -(ln cos x)^2
Vamos isolar I = -12 (ln cos x)^2 + C :

Resposta

A integral resulta em:
integral tan(x) ln(cos x) , dx = -12 (ln cos x)^2 + C

Exercícios relacionados