Calcule as integrais:
§ integral sec ^3(x)tan ^4(x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos calcular uma integral que envolve funções trigonométricas, mais especificamente o sec(x) e o tan(x). Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Sabemos que:
sec(x) = 1cos(x) e tan(x) = sin(x)cos(x)
Então, substituindo essas definições na integral:
integral sec^3(x)tan^4(x) dx = integral (1cos(x))^3(sin(x)cos(x))^4 dx = integral 1cos^3(x)sin^4(x)cos^4(x) dx

Passo 3

Simplificando a fração:
1cos^3(x)sin^4(x)cos^4(x) = 1cos^3(x) times cos^4(x)sin^4(x) = cos(x)sin^4(x)
Então, agora nossa integral fica:
integral cos(x)sin^4(x) dx

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Deixe:
u = sin(x) Rightarrow du = cos(x) dx
Substituindo na integral:
integral cos(x)sin^4(x) dx = integral 1u^4 du

Passo 5

Agora, integremos:
integral u^-4 du = u^-3-3 + C = -13u^3 + C
Substituindo de volta u = sin(x):
-13sin^3(x) + C

Resposta

integral sec^3(x)tan^4(x) dx = -13sin^3(x) + C

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