Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos a região de integração da integral dupla
e depois invertermos a ordem de integração. Isso envolve entender bem como as variáveis e estão relacionadas nos limites da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral dupla. A integral está calculando uma soma acumulada da função sobre uma região específica no plano . Os limites externos de vão de -1 a 1, e para cada valor de , varia de até .

Passo 3

Vamos esboçar essa região no plano . Para isso, precisamos entender as curvas que definem os limites de :
  1. : É uma parábola que abre para cima.
  2. : Podemos escrever isso como , ou seja, , que é um círculo com raio centrado na origem.

Passo 4

Agora, vamos determinar onde essas duas curvas se interceptam para saber os limites de integração. Igualando :
Resolvendo essa equação, encontramos e . Portanto, a interseção ocorre quando vai de -1 a 1.

Passo 5

Com isso, sabemos que para cada entre -1 e 1, varia de até . Mas queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 6

Para inverter a ordem, precisamos determinar para cada quais são os valores correspondentes de . Olhando para as curvas:
  • Para fixo, vai de até .
Mas precisamos identificar os limites totais de . Olhando para as interseções e as curvas, vemos que varia de 0 até 1. Isso porque a parábola atinge quando , que são os pontos de interseção com o círculo.

Passo 7

Portanto, os novos limites de integração serão:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de até .

Resposta

A ordem de integração invertida fica:

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Calcule onde é o conjunto dado. é o triângulo de vértices e
Resolva os PVIs:
Calcule as integrais:
(k) ;
Calcule as integrais:
§ ;