Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos a região de integração da integral dupla
e depois invertermos a ordem de integração. Isso envolve entender bem como as variáveis
e
estão relacionadas nos limites da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral dupla. A integral está calculando uma soma acumulada da função
sobre uma região específica no plano
. Os limites externos de
vão de -1 a 1, e para cada valor de
,
varia de
até
.
Passo 3
Vamos esboçar essa região no plano
. Para isso, precisamos entender as curvas que definem os limites de
:
-
: É uma parábola que abre para cima. -
: Podemos escrever isso como , ou seja, , que é um círculo com raio centrado na origem.
Passo 4
Agora, vamos determinar onde essas duas curvas se interceptam para saber os limites de integração. Igualando
:
Resolvendo essa equação, encontramos
e
. Portanto, a interseção ocorre quando
vai de -1 a 1.
Passo 5
Com isso, sabemos que para cada
entre -1 e 1,
varia de
até
. Mas queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 6
Para inverter a ordem, precisamos determinar para cada
quais são os valores correspondentes de
. Olhando para as curvas:
- Para
fixo, vai de até .
Mas precisamos identificar os limites totais de
. Olhando para as interseções e as curvas, vemos que
varia de 0 até 1. Isso porque a parábola
atinge
quando
, que são os pontos de interseção com o círculo.
Passo 7
Portanto, os novos limites de integração serão:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de até .
Resposta
A ordem de integração invertida fica:
Exercícios relacionados
Calcule
onde
é o conjunto dado.
é o triângulo de vértices
e
Resolva os PVIs:
Calcule as integrais:
(k) ;
(k)
Calcule as integrais:
§ ;
§