Calcule
onde
é o conjunto dado.
é o triângulo de vértices
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é um triângulo com vértices nos pontos
,
e
. Vamos precisar usar conceitos de integração dupla e entender como delimitar essa região triangular para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o triângulo
. Ele tem três vértices:
,
e
. Para configurar a integral, precisamos descobrir as equações das retas que formam os lados desse triângulo.
Passo 3
Vamos determinar as equações das retas:
- Base do triângulo: liga
a . Essa é a reta . - Reta da esquerda: liga
a . A inclinação dessa reta é , então a equação é . - Reta da direita: liga
a . A inclinação é , então a equação é .
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo:
- Para
variando de a , o limite superior de é dado pela reta . - Para
variando de a , o limite superior de é dado pela reta .
Então, vamos dividir a integral em duas partes:
- De
a , vai de a . - De
a , vai de a .
Passo 5
Montando a integral dupla, temos:
Passo 6
Vamos resolver a primeira integral:
Integrando em
:
Integrando em
:
Passo 7
Agora, resolvemos a segunda integral:
Integrando em
:
Expandindo
:
Calculando:
Passo 8
Finalmente, somamos as duas partes:
Resposta
A integral dupla
vale
.
Exercícios relacionados
Resolva os PVIs:
Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a soluçāo geral das seguintes equaçōes diferenciais:
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
Calcule as integrais:
(k) ;
(k)