Calcule integral duplaB y d A onde B é o conjunto dado. B é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (2,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo com vértices nos pontos , e . Vamos precisar usar conceitos de integração dupla e entender como delimitar essa região triangular para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o triângulo . Ele tem três vértices: , e . Para configurar a integral, precisamos descobrir as equações das retas que formam os lados desse triângulo.

Passo 3

Vamos determinar as equações das retas:
  1. Base do triângulo: liga a . Essa é a reta .
  2. Reta da esquerda: liga a . A inclinação dessa reta é , então a equação é .
  3. Reta da direita: liga a . A inclinação é , então a equação é .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo:
  • Para variando de a , o limite superior de é dado pela reta .
  • Para variando de a , o limite superior de é dado pela reta .
Então, vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De a , vai de a .
  2. De a , vai de a .

Passo 5

Montando a integral dupla, temos:
integral duplaB y , dA = integral0^1 integral0^12x y , dy , dx + integral1^2 integral0^x - 1 y , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^1 integral0^12x y , dy , dx
Integrando em integral0^1 [ 12y^2 ]0^12x , dx = integral0^1 12 ( 12x )^2 , dx = integral0^1 18x^2 , dx :
18 [ 13x^3 ]0^1 = 18 cdot 13 = 124
Integrando em :

Passo 7

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral1^2 integral0^x - 1 y , dy , dx
Integrando em integral1^2 [ 12y^2 ]0^x - 1 , dx = integral1^2 12(x - 1)^2 , dx :
12 integral1^2 (x^2 - 2x + 1) , dx = 12 [ 13x^3 - x^2 + x ]1^2
Expandindo 12 ( ( 83 - 4 + 2 ) - ( 13 - 1 + 1 ) ) = 12 ( 83 - 2 - 13 ) = 12 cdot 53 = 56 :
Calculando:

Passo 8

Finalmente, somamos as duas partes:
124 + 56 = 124 + 2024 = 2124 = 78

Resposta

A integral dupla vale .

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