Calcule onde é o conjunto dado. é o triângulo de vértices e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo com vértices nos pontos , e . Vamos precisar usar conceitos de integração dupla e entender como delimitar essa região triangular para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o triângulo . Ele tem três vértices: , e . Para configurar a integral, precisamos descobrir as equações das retas que formam os lados desse triângulo.

Passo 3

Vamos determinar as equações das retas:
  1. Base do triângulo: liga a . Essa é a reta .
  2. Reta da esquerda: liga a . A inclinação dessa reta é , então a equação é .
  3. Reta da direita: liga a . A inclinação é , então a equação é .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo:
  • Para variando de a , o limite superior de é dado pela reta .
  • Para variando de a , o limite superior de é dado pela reta .
Então, vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De a , vai de a .
  2. De a , vai de a .

Passo 5

Montando a integral dupla, temos:

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
Integrando em :
Integrando em :

Passo 7

Agora, resolvemos a segunda integral:
Integrando em :
Expandindo :
Calculando:

Passo 8

Finalmente, somamos as duas partes:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Resolva os PVIs:
Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a soluçāo geral das seguintes equaçōes diferenciais:
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
Calcule as integrais:
(k) ;