Encontre, se existir, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
e faça um esboço do mesmo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre o que são assíntotas e como identificá-las em uma função racional. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são assíntotas. Assíntotas são linhas que o gráfico de uma função se aproxima, mas nunca realmente toca. Elas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
- Assíntota Horizontal: É uma linha horizontal que o gráfico da função se aproxima quando
vai para ou . - Assíntota Vertical: É uma linha vertical onde a função tende ao infinito positivo ou negativo quando
se aproxima de um certo valor.
Como nossa função é
, que é uma função racional (polinômio dividido por polinômio), vamos verificar se ela tem assíntotas horizontais e verticais.
Passo 3
Vamos começar procurando pela assíntota horizontal. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
vai para
ou
.
Olha só:
E também:
Isso significa que, independentemente de
ir para o infinito positivo ou negativo, a função se aproxima de 1. Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 4
Agora vamos procurar pela assíntota vertical. Isso acontece onde o denominador da fração se aproxima de zero, pois a função tende ao infinito nesse ponto.
Na nossa função
, o denominador é
. Quando
se aproxima de 0, a fração
tende ao infinito (positivo ou negativo, dependendo do lado pelo qual
se aproxima de 0).
Portanto, a função tem uma assíntota vertical em
.
Passo 5
Para resumir o que encontramos:
- Assíntota Horizontal:
- Assíntota Vertical:
Além disso, para fazer o esboço do gráfico, você desenharia a linha horizontal
e a linha vertical
. O gráfico de
se aproximará dessas linhas, mas nunca as tocará.
Resposta
As assíntotas da função
são:
- Assíntota Horizontal:
- Assíntota Vertical:
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Calcule, se existir, o limite indicado.
Encontre, se existir, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
e faça um esboço do mesmo.
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Calcule, usando o método da substituição:
(n)
(n)
Calcule as integrais:
(l)
(l)