Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a integração. Sabemos que é igual a , mas uma identidade útil aqui é:
Então, podemos expressar como:
Agora, a integral fica:

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes:
Agora, vamos resolver cada integral individualmente.

Passo 4

Primeiro, a integral . Para resolver isso, usamos a substituição. Vamos deixar:
Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, a segunda integral: . Sabemos que a integral de é:

Passo 6

Juntando as duas partes, temos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de é:

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Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Calcule as seguintes integrais complexas:
(a) , onde é a circunferência unitária centrada em com orientação antihorária.
Resposta:
(b) , onde é o quadrado unitário centrado em com orientação antihorária;
[^4]
© , onde é o retângulo com vértices com orientação anti-horária;;
(d) , onde é a circunferência centrada em e raio 3 com orientação anti-horária. Resposta:
(e) , onde é a circunferência centrada em e raio 3 , com orientação anti-horária. Resposta:
(f) , onde é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária; Resposta:
(g) , onde é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária. Resposta: .
Sugestão para os itens (b), © e (g): A função não é holomorfa (em ), conforme o segundo exemplo da subseção 2.2.2.
Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
(a) e .
(b) .
© e .
(d) e .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) е .
(i) .
Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)