Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
em relação a
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que facilite a integração. Sabemos que
é igual a
, mas uma identidade útil aqui é:
Então, podemos expressar
como:
Agora, a integral fica:
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes:
Agora, vamos resolver cada integral individualmente.
Passo 4
Primeiro, a integral
. Para resolver isso, usamos a substituição. Vamos deixar:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, a segunda integral:
. Sabemos que a integral de
é:
Passo 6
Juntando as duas partes, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral de
é:
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Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Calcule as seguintes integrais complexas:
(a) , onde
é a circunferência unitária centrada em
com orientação antihorária.
Resposta:
(b) , onde
é o quadrado unitário centrado em
com orientação antihorária;
(a)
Resposta:
(b)
[^4]
©
, onde
é o retângulo com vértices
com orientação anti-horária;;
(d) , onde
é a circunferência centrada em
e raio 3 com orientação anti-horária. Resposta:
(e) , onde
é a circunferência centrada em
e raio 3 , com orientação anti-horária. Resposta:
(f) , onde
é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária; Resposta:
(g) , onde
é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária. Resposta:
.
Sugestão para os itens (b), © e (g): A função não é holomorfa (em
), conforme o segundo exemplo da subseção 2.2.2.
(d)
(e)
(f)
(g)
Sugestão para os itens (b), © e (g): A função
Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
(a) e
.
(b) .
© e
.
(d) e
.
(e) .
(f) .
(g) .
(h) е
.
(i) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)