Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
I=integral cot ^3 t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cot^2 t = csc^2 t - 1 de uma forma que facilite a integração. Sabemos que cot^3 t = cot t cdot cot^2 t = cot t cdot (csc^2 t - 1) é igual a I = integral cot t (csc^2 t - 1) , dt , mas uma identidade útil aqui é:
Então, podemos expressar como:
Agora, a integral fica:

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes:
I = integral cot t cdot csc^2 t , dt - integral cot t , dt
Agora, vamos resolver cada integral individualmente.

Passo 4

Primeiro, a integral u = cot t . Para resolver isso, usamos a substituição. Vamos deixar:
du = -csc^2 t , dt Rightarrow -du = csc^2 t , dt
Então, a derivada de integral cot t cdot csc^2 t , dt = integral u cdot (-du) = -integral u , du = -u^22 + C = -cot^2 t2 + C em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, a segunda integral: integral cot t , dt = ln|sin t| + C . Sabemos que a integral de é:

Passo 6

Juntando as duas partes, temos:
I = -cot^2 t2 - ln|sin t| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de I = -cot^2 t2 - ln|sin t| + C é:

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