Calcule as seguintes integrais complexas:
(a) ointgamma 1z d z, onde gamma é a circunferência unitária centrada em (0,0) com orientação antihorária.
Resposta: 2 pi i^65
(b) ointgamma barz+z^2 barz d z, onde gamma é o quadrado unitário centrado em (0,0) com orientação antihorária; ^66
[^4] gamma=gamma1 cup gamma2 cup gamma3 cup gamma4
© ointgamma barz8+z d z, onde gamma é o retângulo com vértices pm 3 pm i com orientação anti-horária;; ^67
(d) ointgamma xi^2xi-1 d xi, onde gamma é a circunferência centrada em (0,0) e raio 3 com orientação anti-horária. Resposta: 2 pi i^68
(e) ointgamma xi(xi-3)(xi+i)(xi-8) d xi, onde gamma é a circunferência centrada em 2+i e raio 3 , com orientação anti-horária. Resposta: 2 pi i(-1+3 i-8-i) ; 69
(f) ointgamma xi(xi+4) d xi, onde gamma é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária; Resposta: 0 ; ^70
(g) ointgamma barxi d xi, onde gamma é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária. Resposta: 2 pi i^71.
Sugestão para os itens (b), © e (g): A função f(z)=barz não é holomorfa (em z, forall z in C ), conforme o segundo exemplo da subseção 2.2.2.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral complexa ointgamma 1z , dz, onde gamma é a circunferência unitária centrada na origem (0,0) e que gira no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema de Cauchy, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função holomorfa. Uma função é holomorfa em um ponto se ela é diferenciável naquele ponto e em uma vizinhança ao redor dele. No nosso caso, a função 1z não é holomorfa em z = 0, porque nesse ponto ela não está definida (tem um polo).

Passo 3

Agora, o Teorema de Cauchy é super útil aqui. Ele diz que se a função for holomorfa dentro e sobre uma curva fechada, a integral ao longo dessa curva será zero. Mas, como nossa função 1z tem um polo em z = 0, a gente precisa usar uma versão mais específica desse teorema, que envolve resíduos.

Passo 4

Vamos calcular o Resíduo da função 1z no ponto z = 0. O resíduo é basicamente o coeficiente de 1z na expansão em série de Laurent da função ao redor desse ponto. Olhando pra nossa função, já temos 1z, então o resíduo é simplesmente 1.

Passo 5

Com o resíduo em mãos, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos diz que a integral é igual a 2pi i vezes o resíduo. Ou seja:
ointgamma 1z , dz = 2pi i times 1 = 2pi i

Resposta

2pi i

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