Calcule as seguintes integrais complexas:
(a)
, onde
é a circunferência unitária centrada em
com orientação antihorária.
Resposta:
(b)
, onde
é o quadrado unitário centrado em
com orientação antihorária;
[^4]
©
, onde
é o retângulo com vértices
com orientação anti-horária;;
(d)
, onde
é a circunferência centrada em
e raio 3 com orientação anti-horária. Resposta:
(e)
, onde
é a circunferência centrada em
e raio 3 , com orientação anti-horária. Resposta:
(f)
, onde
é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária; Resposta:
(g)
, onde
é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária. Resposta:
.
Sugestão para os itens (b), © e (g): A função
não é holomorfa (em
), conforme o segundo exemplo da subseção 2.2.2.
(a)
Resposta:
(b)
(d)
(e)
(f)
(g)
Sugestão para os itens (b), © e (g): A função
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral complexa
, onde
é a circunferência unitária centrada na origem (0,0) e que gira no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema de Cauchy, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função holomorfa. Uma função é holomorfa em um ponto se ela é diferenciável naquele ponto e em uma vizinhança ao redor dele. No nosso caso, a função
não é holomorfa em
, porque nesse ponto ela não está definida (tem um polo).
Passo 3
Agora, o Teorema de Cauchy é super útil aqui. Ele diz que se a função for holomorfa dentro e sobre uma curva fechada, a integral ao longo dessa curva será zero. Mas, como nossa função
tem um polo em
, a gente precisa usar uma versão mais específica desse teorema, que envolve resíduos.
Passo 4
Vamos calcular o Resíduo da função
no ponto
. O resíduo é basicamente o coeficiente de
na expansão em série de Laurent da função ao redor desse ponto. Olhando pra nossa função, já temos
, então o resíduo é simplesmente 1.
Passo 5
Com o resíduo em mãos, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos diz que a integral é igual a
vezes o resíduo. Ou seja:
Resposta
Exercícios relacionados
Escreva os conjuntos abaixo utilizando notação de intervalo. Em seguinda, represente-os graficamente.
(a) ;
(b) ;
© ou
;
(d) e
.
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Partindo do fato de que o produto de inteiros resulta em um número inteiro, mostre que o produto de números racionais resulta em um número racional.
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)