Calcule as seguintes integrais complexas:
(a) , onde é a circunferência unitária centrada em com orientação antihorária.
Resposta:
(b) , onde é o quadrado unitário centrado em com orientação antihorária;
[^4]
© , onde é o retângulo com vértices com orientação anti-horária;;
(d) , onde é a circunferência centrada em e raio 3 com orientação anti-horária. Resposta:
(e) , onde é a circunferência centrada em e raio 3 , com orientação anti-horária. Resposta:
(f) , onde é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária; Resposta:
(g) , onde é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária. Resposta: .
Sugestão para os itens (b), © e (g): A função não é holomorfa (em ), conforme o segundo exemplo da subseção 2.2.2.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral complexa , onde é a circunferência unitária centrada na origem (0,0) e que gira no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema de Cauchy, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função holomorfa. Uma função é holomorfa em um ponto se ela é diferenciável naquele ponto e em uma vizinhança ao redor dele. No nosso caso, a função não é holomorfa em , porque nesse ponto ela não está definida (tem um polo).

Passo 3

Agora, o Teorema de Cauchy é super útil aqui. Ele diz que se a função for holomorfa dentro e sobre uma curva fechada, a integral ao longo dessa curva será zero. Mas, como nossa função tem um polo em , a gente precisa usar uma versão mais específica desse teorema, que envolve resíduos.

Passo 4

Vamos calcular o Resíduo da função no ponto . O resíduo é basicamente o coeficiente de na expansão em série de Laurent da função ao redor desse ponto. Olhando pra nossa função, já temos , então o resíduo é simplesmente 1.

Passo 5

Com o resíduo em mãos, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos diz que a integral é igual a vezes o resíduo. Ou seja:

Resposta

Exercícios relacionados

Escreva os conjuntos abaixo utilizando notação de intervalo. Em seguinda, represente-os graficamente.
(a) ;
(b) ;
© ou ;
(d) e .
(e) .
Partindo do fato de que o produto de inteiros resulta em um número inteiro, mostre que o produto de números racionais resulta em um número racional.
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)