Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Aqui, vamos mexer com integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o produto usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Mas para simplificar, é mais direto usar a identidade de redução de potência:

Passo 3

Aplicando essas identidades na nossa expressão:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os termos:
E sabemos que:
Então:

Passo 5

Vamos simplificar novamente usando a identidade de redução de potência para :
Aplicando isso:

Passo 6

Agora, a integral fica mais fácil de resolver:
Podemos separar a integral:

Passo 7

Vamos integrar cada termo:
Então:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais complexas:
(a) , onde é a circunferência unitária centrada em com orientação antihorária.
Resposta:
(b) , onde é o quadrado unitário centrado em com orientação antihorária;
[^4]
© , onde é o retângulo com vértices com orientação anti-horária;;
(d) , onde é a circunferência centrada em e raio 3 com orientação anti-horária. Resposta:
(e) , onde é a circunferência centrada em e raio 3 , com orientação anti-horária. Resposta:
(f) , onde é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária; Resposta:
(g) , onde é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária. Resposta: .
Sugestão para os itens (b), © e (g): A função não é holomorfa (em ), conforme o segundo exemplo da subseção 2.2.2.
Escreva os conjuntos abaixo utilizando notação de intervalo. Em seguinda, represente-os graficamente.
(a) ;
(b) ;
© ou ;
(d) e .
(e) .
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
(a) e .
(b) .
© e .
(d) e .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) е .
(i) .