Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
I=integral sin ^2(3 t) cos ^2(3 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sin^2(3t) cos^2(3t) em relação a t. Aqui, vamos mexer com integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o produto sin^2(3t) cos^2(3t) usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
sin^2x cos^2x = (sin(2x)2)^2 = 1 - cos(4x)8
Mas para simplificar, é mais direto usar a identidade de redução de potência:
sin^2x = 1 - cos(2x)2 e cos^2x = 1 + cos(2x)2

Passo 3

Aplicando essas identidades na nossa expressão:
sin^2(3t) cos^2(3t) = (1 - cos(6t)2) (1 + cos(6t)2)

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os termos:
(1 - cos(6t)2) (1 + cos(6t)2) = 1 - cos^2(6t)4
E sabemos que:
1 - cos^2x = sin^2x
Então:
1 - cos^2(6t)4 = sin^2(6t)4

Passo 5

Vamos simplificar novamente usando a identidade de redução de potência para sin^2x:
sin^2x = 1 - cos(2x)2
Aplicando isso:
sin^2(6t)4 = 1 - cos(12t)8

Passo 6

Agora, a integral fica mais fácil de resolver:
I = integral sin^2(3t) cos^2(3t) , dt = integral 1 - cos(12t)8 , dt
Podemos separar a integral:
I = 18 integral 1 , dt - 18 integral cos(12t) , dt

Passo 7

Vamos integrar cada termo:
  1. integral 1 , dt = t
  2. integral cos(12t) , dt = sin(12t)12
Então:
I = 18 t - 18 cdot sin(12t)12 + C
Simplificando:
I = t8 - sin(12t)96 + C

Resposta

A integral é igual a:
I = t8 - sin(12t)96 + C

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