Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
em relação a
. Aqui, vamos mexer com integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o produto
usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Mas para simplificar, é mais direto usar a identidade de redução de potência:
Passo 3
Aplicando essas identidades na nossa expressão:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar os termos:
E sabemos que:
Então:
Passo 5
Vamos simplificar novamente usando a identidade de redução de potência para
:
Aplicando isso:
Passo 6
Agora, a integral fica mais fácil de resolver:
Podemos separar a integral:
Passo 7
Vamos integrar cada termo:
Então:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais complexas:
(a) , onde
é a circunferência unitária centrada em
com orientação antihorária.
Resposta:
(b) , onde
é o quadrado unitário centrado em
com orientação antihorária;
(a)
Resposta:
(b)
[^4]
©
, onde
é o retângulo com vértices
com orientação anti-horária;;
(d) , onde
é a circunferência centrada em
e raio 3 com orientação anti-horária. Resposta:
(e) , onde
é a circunferência centrada em
e raio 3 , com orientação anti-horária. Resposta:
(f) , onde
é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária; Resposta:
(g) , onde
é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária. Resposta:
.
Sugestão para os itens (b), © e (g): A função não é holomorfa (em
), conforme o segundo exemplo da subseção 2.2.2.
(d)
(e)
(f)
(g)
Sugestão para os itens (b), © e (g): A função
Escreva os conjuntos abaixo utilizando notação de intervalo. Em seguinda, represente-os graficamente.
(a) ;
(b) ;
© ou
;
(d) e
.
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
(a) e
.
(b) .
© e
.
(d) e
.
(e) .
(f) .
(g) .
(h) е
.
(i) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)