Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está num formato bem quadrado, mas a gente vai mudar para coordenadas polares pra facilitar. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo integral e a mudança de coordenadas para simplificar a região de integração. Precisamos entender como converter
e
para
e
e também ajustar o diferencial de área.
Passo 2
Primeiro, observamos que os limites de integração
e
descrevem um círculo com raio 2. Isso porque
varia de
a
para cada
entre
e
. Em coordenadas polares, isso fica mais fácil porque o raio
vai de 0 a 2 e o ângulo
vai de 0 a
.
Passo 3
Vamos converter a função
para coordenadas polares. Sabemos que
, então a função fica
.
Passo 4
Lembrando que, ao mudar para coordenadas polares, o diferencial de área
vira
. Então, nossa integral vai ficar assim:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 6
Agora, voltamos à integral externa em relação a
:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões
dadas:
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.