Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
integral-2^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 e^-(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está num formato bem quadrado, mas a gente vai mudar para coordenadas polares pra facilitar. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo integral e a mudança de coordenadas para simplificar a região de integração. Precisamos entender como converter e para e e também ajustar o diferencial de área.

Passo 2

Primeiro, observamos que os limites de integração e descrevem um círculo com raio 2. Isso porque varia de a para cada entre e . Em coordenadas polares, isso fica mais fácil porque o raio vai de 0 a 2 e o ângulo vai de 0 a .

Passo 3

Vamos converter a função para coordenadas polares. Sabemos que , então a função fica .

Passo 4

Lembrando que, ao mudar para coordenadas polares, o diferencial de área integral0^2pi integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta vira . Então, nossa integral vai ficar assim:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr :
-12 integral0^-4 e^u , du = 12 ( e^0 - e^-4 ) = 12 (1 - e^-4)
Fazendo a substituição , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa em relação a integral0^2pi 12 (1 - e^-4) dtheta = 12 (1 - e^-4) cdot 2pi = pi (1 - e^-4) :

Resposta

A integral vale .

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