Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está num formato bem quadrado, mas a gente vai mudar para coordenadas polares pra facilitar. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo integral e a mudança de coordenadas para simplificar a região de integração. Precisamos entender como converter e para e e também ajustar o diferencial de área.

Passo 2

Primeiro, observamos que os limites de integração e descrevem um círculo com raio 2. Isso porque varia de a para cada entre e . Em coordenadas polares, isso fica mais fácil porque o raio vai de 0 a 2 e o ângulo vai de 0 a .

Passo 3

Vamos converter a função para coordenadas polares. Sabemos que , então a função fica .

Passo 4

Lembrando que, ao mudar para coordenadas polares, o diferencial de área vira . Então, nossa integral vai ficar assim:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Fazendo a substituição , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa em relação a :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões dadas:
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.