Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral:
Isso envolve o conteúdo de integração por substituição trigonométrica, que é uma técnica usada para resolver integrais que contêm expressões quadráticas sob uma raiz. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar escolher uma substituição trigonométrica adequada que simplifique a expressão.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição trigonométrica apropriada. Observando a expressão , notamos que ela se assemelha à forma , que sugere o uso da substituição hiperbólica ou trigonométrica. Aqui, optaremos por:
A razão para essa substituição é que a função secante, , está relacionada à expressão através da identidade trigonométrica:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Simplificando a expressão sob a raiz:

Passo 5

Agora, a integral fica:
A integral de é uma integral padrão:

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original . Sabemos que:
Substituindo de volta na expressão da integral:

Resposta

A integral calculada é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Determine o módulo de:
Sejam e conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(a) Se então .
(b) Se então .
© Se então .
(d) Se então .
Considerando os conjuntos e diga se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(a) ;
(e) ;
(i) ;
(m) .
(b) ;
(f) ;
(j) ;
© ;
(g) ;
(k) ;
(d) ;
(h) ;
(l) ;