Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral:
Isso envolve o conteúdo de integração por substituição trigonométrica, que é uma técnica usada para resolver integrais que contêm expressões quadráticas sob uma raiz. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar escolher uma substituição trigonométrica adequada que simplifique a expressão.
Passo 2
Vamos começar escolhendo uma substituição trigonométrica apropriada. Observando a expressão
, notamos que ela se assemelha à forma
, que sugere o uso da substituição hiperbólica ou trigonométrica. Aqui, optaremos por:
A razão para essa substituição é que a função secante,
, está relacionada à expressão
através da identidade trigonométrica:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando a expressão sob a raiz:
Passo 5
Agora, a integral fica:
A integral de
é uma integral padrão:
Passo 6
Agora, precisamos voltar à variável original
. Sabemos que:
Substituindo de volta na expressão da integral:
Resposta
A integral calculada é: