Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
I=integral d xraizx^2-a^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral:
I = integral dxraizx^2 - a^2
Isso envolve o conteúdo de integração por substituição trigonométrica, que é uma técnica usada para resolver integrais que contêm expressões quadráticas sob uma raiz. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar escolher uma substituição trigonométrica adequada que simplifique a expressão.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição trigonométrica apropriada. Observando a expressão raizx^2 - a^2, notamos que ela se assemelha à forma raizx^2 - a^2, que sugere o uso da substituição hiperbólica ou trigonométrica. Aqui, optaremos por:
x = a sec theta
A razão para essa substituição é que a função secante, sec theta, está relacionada à expressão raizx^2 - a^2 através da identidade trigonométrica:
sec^2 theta - 1 = tan^2 theta

Passo 3

Agora, vamos derivar x em relação a theta para encontrar dx:
x = a sec theta dxdtheta = a sec theta tan theta dx = a sec theta tan theta , dtheta

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
I = integral dxraizx^2 - a^2 = integral a sec theta tan theta , dthetaraiza^2 sec^2 theta - a^2
Simplificando a expressão sob a raiz:
raiza^2 sec^2 theta - a^2 = raiza^2 (sec^2 theta - 1) = raiza^2 tan^2 theta = a tan theta

Passo 5

Agora, a integral fica:
I = integral a sec theta tan theta , dthetaa tan theta = integral sec theta , dtheta
A integral de sec theta é uma integral padrão:
integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original x. Sabemos que:
x = a sec theta Rightarrow sec theta = xa Rightarrow tan theta = raizsec^2 theta - 1 = raiz(xa)^2 - 1 = raizx^2 - a^2a
Substituindo de volta na expressão da integral:
I = ln | xa + raizx^2 - a^2a | + C = ln | x + raizx^2 - a^2a | + C

Resposta

A integral calculada é:
I = ln | x + raizx^2 - a^2a | + C

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