Sejam e conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(a) Se então .
(b) Se então .
© Se então .
(d) Se então .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de teoria dos conjuntos! O enunciado pede para a gente provar ou dar um contra-exemplo para quatro afirmações envolvendo subconjuntos e operações entre conjuntos. Vamos precisar lembrar o que significa um conjunto ser subconjunto de outro, o que é a diferença entre conjuntos (A - B), e como funciona a interseção entre conjuntos (A ∩ B). Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Se então .
Primeiro, vamos entender o que cada parte dessa afirmação significa.
  • : Isso quer dizer que todo elemento de também está em .
  • : Essa é a diferença entre os conjuntos e , ou seja, são os elementos que estão em mas não estão em .
Agora, se todo elemento de está em , então não tem nenhum elemento que está em mas não em . Ou seja, deveria ser o conjunto vazio, não .
Contra-exemplo:
Vamos escolher e .
  • Aqui, porque todos os elementos de estão em .
  • Mas porque não há elementos em que não estejam em .
Portanto, a afirmação está errada.

Passo 3

Parte (b): Se então .
Vamos analisar o que significa .
  • : Isso quer dizer que todos os elementos de não estão em .
Ou seja, não tem nenhum elemento de que esteja em . Mas será que isso implica que é vazio?
Na verdade, apenas que nenhum elemento de está em . ainda pode ter elementos que não estão em .
Contra-exemplo:
Vamos escolher e .
  • Aqui, .
  • Mas não é vazio, .
Portanto, a afirmação está errada.

Passo 4

Parte ©: Se então .
Vamos entender isso.
  • : Todo elemento de está em .
  • : São os elementos que estão em e em .
  • : São os elementos que estão em e em .
Como todo elemento de está em , se um elemento está em e em , ele também está em . Logo, esse elemento estará em .
Prova:
Seja . Então:
  • e .
  • Como , .
  • Portanto, .
Assim, está provado.

Passo 5

Parte (d): Se então .
Vamos ver se isso é sempre verdadeiro ou se existe um caso onde não é.
A afirmação sugere que se todo elemento que está em e em também está em e em , então todo elemento de está em . Mas isso nem sempre acontece.
Contra-exemplo:
Vamos escolher , , e .
  • .
  • .
  • Então, é verdadeiro.
Mas olhando para e :
  • O elemento está em mas não em , então é falso.
Portanto, a afirmação está errada.

Resposta

(a) A afirmação está errada.
(b) A afirmação está errada.
© A afirmação está correta.
(d) A afirmação está errada.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Considerando os conjuntos e diga se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(a) ;
(e) ;
(i) ;
(m) .
(b) ;
(f) ;
(j) ;
© ;
(g) ;
(k) ;
(d) ;
(h) ;
(l) ;
Considerando os conjuntos e , determine:
(a) ;
© ;
(e) ;
(b) ;
(d) ;
(f) .