Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(a) Se
então
.
(b) Se
então
.
© Se
então
.
(d) Se
então
.
(a) Se
(b) Se
© Se
(d) Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de teoria dos conjuntos! O enunciado pede para a gente provar ou dar um contra-exemplo para quatro afirmações envolvendo subconjuntos e operações entre conjuntos. Vamos precisar lembrar o que significa um conjunto ser subconjunto de outro, o que é a diferença entre conjuntos (A - B), e como funciona a interseção entre conjuntos (A ∩ B). Vamos lá!
Passo 2
Parte (a): Se
então
.
Primeiro, vamos entender o que cada parte dessa afirmação significa.
-
: Isso quer dizer que todo elemento de também está em . -
: Essa é a diferença entre os conjuntos e , ou seja, são os elementos que estão em mas não estão em .
Agora, se todo elemento de
está em
, então não tem nenhum elemento que está em
mas não em
. Ou seja,
deveria ser o conjunto vazio, não
.
Contra-exemplo:
Vamos escolher
e
.
- Aqui,
porque todos os elementos de estão em . - Mas
porque não há elementos em que não estejam em .
Portanto, a afirmação está errada.
Passo 3
Parte (b): Se
então
.
Vamos analisar o que significa
.
-
: Isso quer dizer que todos os elementos de não estão em .
Ou seja, não tem nenhum elemento de
que esteja em
. Mas será que isso implica que
é vazio?
Na verdade, apenas que nenhum elemento de
está em
.
ainda pode ter elementos que não estão em
.
Contra-exemplo:
Vamos escolher
e
.
- Aqui,
. - Mas
não é vazio, .
Portanto, a afirmação está errada.
Passo 4
Parte ©: Se
então
.
Vamos entender isso.
-
: Todo elemento de está em . -
: São os elementos que estão em e em . -
: São os elementos que estão em e em .
Como todo elemento de
está em
, se um elemento está em
e em
, ele também está em
. Logo, esse elemento estará em
.
Prova:
Seja
. Então:
-
e . - Como
, . - Portanto,
.
Assim,
está provado.
Passo 5
Parte (d): Se
então
.
Vamos ver se isso é sempre verdadeiro ou se existe um caso onde não é.
A afirmação sugere que se todo elemento que está em
e em
também está em
e em
, então todo elemento de
está em
. Mas isso nem sempre acontece.
Contra-exemplo:
Vamos escolher
,
, e
.
-
. -
. - Então,
é verdadeiro.
Mas olhando para
e
:
-
-
- O elemento
está em mas não em , então é falso.
Portanto, a afirmação está errada.
Resposta
(a) A afirmação está errada.
(b) A afirmação está errada.
© A afirmação está correta.
(d) A afirmação está errada.
(b) A afirmação está errada.
© A afirmação está correta.
(d) A afirmação está errada.
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Considerando os conjuntos
e
diga se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(a) ;
(e) ;
(i) ;
(m) .
(b) ;
(f) ;
(j) ;
© ;
(g) ;
(k) ;
(d) ;
(h) ;
(l) ;
(a)
(e)
(i)
(m)
(b)
(f)
(j)
©
(g)
(k)
(d)
(h)
(l)
Considerando os conjuntos
e
, determine:
(a) ;
© ;
(e) ;
(b) ;
(d) ;
(f) .
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)