Calcule a massa do sólido
, cuja função densidade de massa é
, sendo
descrito por
e
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema nos pede. Precisamos calcular a massa do sólido
cuja função densidade de massa é dada por
.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas para determinar a massa de um sólido com uma função densidade específica.
O que vamos precisar:
- Entender como configurar uma integral tripla.
- Identificar os limites de integração para as variáveis
, e . - Utilizar coordenadas apropriadas para facilitar os cálculos, possivelmente coordenadas cilíndricas ou esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região que define o sólido
. A equação
descreve uma elipsoide centrada no ponto
com semi-eixos de comprimentos 1,
e 1 nas direções
,
e
, respectivamente.
Além disso, temos a condição
que define uma superfície que limita a parte superior da elipsoide.
Passo 3
Para determinar a massa
, precisamos configurar a integral tripla da função densidade sobre a região
:
Vamos escolher coordenadas cilíndricas deslocadas para simplificar a integração, já que o sólido é centrado em
. Definimos:
Assim, a função densidade se torna
, e a elipsoide se simplifica para:
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos mudar de coordenadas para ajustar a elipsoide a uma esfera padrão. Definimos:
assim, a equação da elipsoide se transforma em:
Agora, estamos trabalhando com uma esfera de raio 1 no sistema de coordenadas
.
Passo 5
A função densidade na nova coordenada
é:
A massa será então:
onde o fator
vem da mudança de variável para
.
Passo 6
Observamos que a função
é uma função ímpar em relação ao plano
. Como estamos integrando sobre uma esfera simétrica em relação a esse plano, a integral de uma função ímpar sobre um domínio simétrico é zero.
Passo 7
Portanto, a massa
do sólido
é:
Resposta
A massa do sólido
é igual a zero.