Calcule a massa do sólido B, cuja função densidade de massa é delta(x, y, z) = z - 1, sendo B descrito por (x-1)^2 + (y-1)^2/3 + (z-1)^2 <= 1 e z ≥ raiz((x - 1)² + (y - 1)² / 3) + 1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema nos pede. Precisamos calcular a massa do sólido cuja função densidade de massa é dada por .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas para determinar a massa de um sólido com uma função densidade específica.
O que vamos precisar:
  • Entender como configurar uma integral tripla.
  • Identificar os limites de integração para as variáveis , e .
  • Utilizar coordenadas apropriadas para facilitar os cálculos, possivelmente coordenadas cilíndricas ou esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região que define o sólido . A equação
descreve uma elipsoide centrada no ponto com semi-eixos de comprimentos 1, e 1 nas direções , e , respectivamente.
Além disso, temos a condição
que define uma superfície que limita a parte superior da elipsoide.

Passo 3

Para determinar a massa , precisamos configurar a integral tripla da função densidade sobre a região :
Vamos escolher coordenadas cilíndricas deslocadas para simplificar a integração, já que o sólido é centrado em . Definimos:
Assim, a função densidade se torna , e a elipsoide se simplifica para:

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos mudar de coordenadas para ajustar a elipsoide a uma esfera padrão. Definimos:
assim, a equação da elipsoide se transforma em:
Agora, estamos trabalhando com uma esfera de raio 1 no sistema de coordenadas .

Passo 5

A função densidade na nova coordenada é:
A massa será então:
onde o fator vem da mudança de variável para .

Passo 6

Observamos que a função é uma função ímpar em relação ao plano . Como estamos integrando sobre uma esfera simétrica em relação a esse plano, a integral de uma função ímpar sobre um domínio simétrico é zero.

Passo 7

Portanto, a massa do sólido é:

Resposta

A massa do sólido é igual a zero.

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