Considere o sólido homogêneo compreendido entre o cilindro
e os planos
e
. Calcule o momento de inércia em relação ao eixo
e em relação ao eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o momento de inércia de um sólido homogêneo que está limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. A matéria envolvida aqui é o momento de inércia, que nos ajuda a entender como a massa está distribuída em relação a um eixo específico. Vamos precisar usar cálculo integral para integrar a densidade do sólido em relação aos eixos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro
está todo deslocado no eixo
, centrado em
. E o sólido está entre
e
, então ele tem altura 1.
Passo 3
Vamos lembrar que o momento de inércia
em relação a um eixo é definido por:
onde
é a distância de um ponto
ao eixo considerado, e
é um elemento de massa. Como o sólido é homogêneo, a densidade
é constante.
Passo 4
Para o eixo
, a distância
de um ponto
ao eixo
é
. Então, o momento de inércia em relação ao eixo
é:
Passo 5
Para o eixo
, a distância
é
. Então, o momento de inércia em relação ao eixo
é:
Passo 6
Vamos calcular
primeiro. A integral vai variar sobre todo o volume do cilindro entre
e
. Em coordenadas cilíndricas, onde
e
, o elemento de volume
é
. O raio do cilindro é 1, então
varia de 0 a 1,
de 0 a
, e
de 0 a 1.
Passo 7
Substituindo na expressão de
:
Vamos simplificar essa expressão integrando passo a passo.
Passo 8
Calculando a integral:
Integrando em
:
Passo 9
Agora, integrando em
:
Sabemos que:
Então:
Passo 10
Finalmente, integrando em
de 0 a 1:
Como o sólido é homogêneo, a massa
, onde
é o volume. O volume do cilindro é
, então
. Substituindo:
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo
é
.