Considere o sólido homogêneo compreendido entre o cilindro x^2 + (y - 1)^2 <= 1 e os planos z = 0 e z = 1. Calcule o momento de inércia em relação ao eixo z e em relação ao eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o momento de inércia de um sólido homogêneo que está limitado pelo cilindro e pelos planos e . A matéria envolvida aqui é o momento de inércia, que nos ajuda a entender como a massa está distribuída em relação a um eixo específico. Vamos precisar usar cálculo integral para integrar a densidade do sólido em relação aos eixos e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro está todo deslocado no eixo , centrado em . E o sólido está entre e , então ele tem altura 1.

Passo 3

Vamos lembrar que o momento de inércia em relação a um eixo é definido por:
onde é a distância de um ponto ao eixo considerado, e é um elemento de massa. Como o sólido é homogêneo, a densidade é constante.

Passo 4

Para o eixo , a distância de um ponto ao eixo é . Então, o momento de inércia em relação ao eixo é:

Passo 5

Para o eixo , a distância é . Então, o momento de inércia em relação ao eixo é:

Passo 6

Vamos calcular primeiro. A integral vai variar sobre todo o volume do cilindro entre e . Em coordenadas cilíndricas, onde e , o elemento de volume é . O raio do cilindro é 1, então varia de 0 a 1, de 0 a , e de 0 a 1.

Passo 7

Substituindo na expressão de :
Vamos simplificar essa expressão integrando passo a passo.

Passo 8

Calculando a integral:
Integrando em :

Passo 9

Agora, integrando em :
Sabemos que:
Então:

Passo 10

Finalmente, integrando em de 0 a 1:
Como o sólido é homogêneo, a massa , onde é o volume. O volume do cilindro é , então . Substituindo:

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo é .

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