Calcule as integrais de linha
b) integralC F cdot d r onde F(x, y, z)=(x+y+z) k e C é a curva parametrizada por alpha(t)=(t, t, 1-t^2), 0 <= t <= 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral de linha da função vetorial ao longo da curva parametrizada por para . Para isso, vamos precisar usar o conceito de integrais de linha em campos vetoriais e parametrizar a curva para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o “acompanhamento” de um campo vetorial ao longo de uma curva. Matemáticamente, é representada por , onde é o campo vetorial e é o vetor diferencial ao longo da curva.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva usando a função dada . Isso significa que , e . O próximo passo é encontrar , que é a derivada de em relação a .

Passo 4

Calculando a derivada de dalphadt = (dxdt, dydt, dzdt) = (1, 1, -2t) :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores de F(x(t), y(t), z(t)) = (t + t + (1 - t^2))k = (2t + 1 - t^2)k , e na função vetorial :
Portanto, .

Passo 6

O próximo passo é calcular o produto escalar F cdot dr = (0)(1) + (0)(1) + (2t + 1 - t^2)(-2t) = -2t(2t + 1 - t^2) :
F cdot dr = -4t^2 - 2t + 2t^3
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão de integral0^1 (-4t^2 - 2t + 2t^3) dt a integral -4t^2 dt = -43t^3 :
integral -2t dt = -t^2
Vamos integrar termo a termo:
integral 2t^3 dt = 24t^4 = 12t^4

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
[-43t^3 - t^2 + 12t^4]0^1
Calculando em -43(1)^3 - (1)^2 + 12(1)^4 = -43 - 1 + 12 = -73 + 12 :
-146 + 36 = -116
Convertendo para denominador comum:
Em , todos os termos são zero.

Resposta

integralC F cdot dr = -116

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