Calcule as integrais de linha
b)
onde
e
é a curva parametrizada por
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral de linha da função vetorial
ao longo da curva
parametrizada por
para
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integrais de linha em campos vetoriais e parametrizar a curva para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o “acompanhamento” de um campo vetorial ao longo de uma curva. Matemáticamente, é representada por
, onde
é o campo vetorial e
é o vetor diferencial ao longo da curva.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
usando a função dada
. Isso significa que
,
e
. O próximo passo é encontrar
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores de
,
e
na função vetorial
:
Portanto,
.
Passo 6
O próximo passo é calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Substituindo os limites de integração:
Calculando em
:
Convertendo para denominador comum:
Em
, todos os termos são zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
e) Calcule onde
é uma curva definida por
, orientada no sentido decrescente de
.
e) Calcule
Calcule as integrais de linha
j) onde
e
é uma curva contida no conjunto
que vai do ponto
ao ponto
;
j)
Calcule as integrais de linha
-
e é a fronteira da região triangular com vértices e , orientada no sentido anti-horário.
Seja
c) Calcule ao longo da parábola
;
c) Calcule