Calcule as integrais de linha
b) onde e é a curva parametrizada por ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral de linha da função vetorial ao longo da curva parametrizada por para . Para isso, vamos precisar usar o conceito de integrais de linha em campos vetoriais e parametrizar a curva para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o “acompanhamento” de um campo vetorial ao longo de uma curva. Matemáticamente, é representada por , onde é o campo vetorial e é o vetor diferencial ao longo da curva.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva usando a função dada . Isso significa que , e . O próximo passo é encontrar , que é a derivada de em relação a .

Passo 4

Calculando a derivada de :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores de , e na função vetorial :
Portanto, .

Passo 6

O próximo passo é calcular o produto escalar :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
Calculando em :
Convertendo para denominador comum:
Em , todos os termos são zero.

Resposta

Exercícios relacionados

Seja
e) Calcule onde é uma curva definida por , orientada no sentido decrescente de .
Calcule as integrais de linha
j) onde e é uma curva contida no conjunto que vai do ponto ao ponto ;
Calcule as integrais de linha
  1. e é a fronteira da região triangular com vértices e , orientada no sentido anti-horário.
Seja
c) Calcule ao longo da parábola ;