e é a fronteira da região triangular com vértices e , orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral , onde é a fronteira de um triângulo com vértices em , e , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Esse teorema diz que:
Aqui, e . Nosso objetivo é calcular a integral dupla do lado direito.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então,
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região triangular . Os vértices do triângulo são , e . Para facilitar, vamos expressar os limites de integração:
varia de a .
Para cada , varia de a .
Isso porque as retas que formam os lados inclinados do triângulo são e .