Calcule as integrais de linha
  1. integralC(tan (x pi)-y^3) d x+(x^2+coth y+2) d y e C é a fronteira da região triangular com vértices (0,0),(2,0) e (1,1), orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral integralC(tan (pi x)-y^3) dx + (x^2+coth y+2) dy, onde C é a fronteira de um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (1,1), orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Esse teorema diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Aqui, P = tan (pi x) - y^3 e Q = x^2 + coth y + 2. Nosso objetivo é calcular a integral dupla do lado direito.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^2 + coth y + 2 ) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y ( tan (pi x) - y^3 ) = -3y^2
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x + 3y^2

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região triangular D. Os vértices do triângulo são (0,0), (2,0) e (1,1). Para facilitar, vamos expressar os limites de integração:
  • y varia de 0 a 1.
  • Para cada y, x varia de 1 - y a 1 + y.
Isso porque as retas que formam os lados inclinados do triângulo são x = 1 - y e x = 1 + y.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dupla:
integral duplaD (2x + 3y^2) , dx , dy = integral0^1 integral1 - y^1 + y (2x + 3y^2) , dx , dy
Primeiro, integramos em relação a x:
integral1 - y^1 + y 2x , dx = [ x^2 ]1 - y^1 + y = (1 + y)^2 - (1 - y)^2 = 4y
integral1 - y^1 + y 3y^2 , dx = 3y^2 cdot (2y) = 6y^3
Então, a integral fica:
integral0^1 (4y + 6y^3) , dy

Passo 6

Agora, integramos em relação a y:
integral0^1 4y , dy = 2y^2 |0^1 = 2(1) - 0 = 2
integral0^1 6y^3 , dy = 64y^4 |0^1 = 32(1) - 0 = 32
Somando os resultados:
2 + 32 = 72 = 3,5

Resposta

O valor da integral é 72.

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