Calcule as integrais de linha
  1. e é a fronteira da região triangular com vértices e , orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral , onde é a fronteira de um triângulo com vértices em , e , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Esse teorema diz que:
Aqui, e . Nosso objetivo é calcular a integral dupla do lado direito.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então,

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região triangular . Os vértices do triângulo são , e . Para facilitar, vamos expressar os limites de integração:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
Isso porque as retas que formam os lados inclinados do triângulo são e .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Somando os resultados:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais de linha
b) onde e é a curva parametrizada por ;
Seja
e) Calcule onde é uma curva definida por , orientada no sentido decrescente de .
Seja
c) Calcule ao longo da parábola ;
Suponha que um campo de forças contínuo e que sob a ação da força , uma partícula de massa desloca-se de até sob uma trajetória descrita pela função .
a) Prove que o trabalho realizado por de até é
em que é a energia cinética.