Seja
e) Calcule onde é uma curva definida por , orientada no sentido decrescente de .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva definida por no intervalo , com orientação descendente em . Aqui, a matéria envolvida é cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha e campos vetoriais. Vamos precisar entender como calcular essa integral usando teoremas como o de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . A equação representa uma parábola que está deslocada para a esquerda em 2 unidades no eixo . O intervalo indica que estamos olhando para uma parte específica dessa parábola. Como a orientação é descendente em , isso vai influenciar a direção em que percorremos a curva.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o campo vetorial . Ele é dado por . Esse tipo de campo é conhecido por ter uma circulação ao redor da origem, e a integral de linha pode ser relacionada ao teorema de Green para facilitar o cálculo.

Passo 4

Vamos aplicar o teorema de Green, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva . O teorema diz:
onde . No nosso caso, e .

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 6

Agora, precisamos avaliar a integral dupla sobre a região delimitada por . Porém, observamos que o ponto está dentro de e o campo é singular nesse ponto (não está definido). Isso significa que o teorema de Green não pode ser aplicado diretamente, pois a região não é simplesmente conexa.

Passo 7

Em situações assim, podemos usar o conceito de circulação em torno de singularidades. Sabemos que para um campo como , que representa uma rotação ao redor da origem, a circulação ao redor de um caminho que contém a origem é . Como a curva envolve a origem, a integral de linha será igual a .

Resposta

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Calcule as integrais de linha
j) onde e é uma curva contida no conjunto que vai do ponto ao ponto ;
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
e)
Calcule as integrais de linha
b) onde e é a curva parametrizada por ;
Calcule as integrais de linha
  1. e é a fronteira da região triangular com vértices e , orientada no sentido anti-horário.