Seja F(x, y)=-y i+x jx^2+y^2
e) Calcule ointC F cdot d r onde C é uma curva definida por y^2=2(x+2)^2,-2 <= x <= 2, orientada no sentido decrescente de y.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva definida por no intervalo , com orientação descendente em . Aqui, a matéria envolvida é cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha e campos vetoriais. Vamos precisar entender como calcular essa integral usando teoremas como o de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . A equação representa uma parábola que está deslocada para a esquerda em 2 unidades no eixo . O intervalo indica que estamos olhando para uma parte específica dessa parábola. Como a orientação é descendente em , isso vai influenciar a direção em que percorremos a curva.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o campo vetorial . Ele é dado por . Esse tipo de campo é conhecido por ter uma circulação ao redor da origem, e a integral de linha pode ser relacionada ao teorema de Green para facilitar o cálculo.

Passo 4

Vamos aplicar o teorema de Green, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA . O teorema diz:
onde . No nosso caso, e .

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = (x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2
partial Ppartial y = -(x^2 + y^2) + y(2y)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 - -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 = 2(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2

Passo 6

Agora, precisamos avaliar a integral dupla sobre a região delimitada por . Porém, observamos que o ponto está dentro de e o campo é singular nesse ponto (não está definido). Isso significa que o teorema de Green não pode ser aplicado diretamente, pois a região não é simplesmente conexa.

Passo 7

Em situações assim, podemos usar o conceito de circulação em torno de singularidades. Sabemos que para um campo como , que representa uma rotação ao redor da origem, a circulação ao redor de um caminho que contém a origem é . Como a curva envolve a origem, a integral de linha será igual a .

Resposta

ointC F cdot dr = 2pi

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