Seja
e) Calcule
onde
é uma curva definida por
, orientada no sentido decrescente de
.
e) Calcule
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
definida por
no intervalo
, com orientação descendente em
. Aqui, a matéria envolvida é cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha e campos vetoriais. Vamos precisar entender como calcular essa integral usando teoremas como o de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. A equação
representa uma parábola que está deslocada para a esquerda em 2 unidades no eixo
. O intervalo
indica que estamos olhando para uma parte específica dessa parábola. Como a orientação é descendente em
, isso vai influenciar a direção em que percorremos a curva.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o campo vetorial
. Ele é dado por
. Esse tipo de campo é conhecido por ter uma circulação ao redor da origem, e a integral de linha pode ser relacionada ao teorema de Green para facilitar o cálculo.
Passo 4
Vamos aplicar o teorema de Green, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva
. O teorema diz:
onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 6
Agora, precisamos avaliar a integral dupla sobre a região
delimitada por
. Porém, observamos que o ponto
está dentro de
e o campo
é singular nesse ponto (não está definido). Isso significa que o teorema de Green não pode ser aplicado diretamente, pois a região não é simplesmente conexa.
Passo 7
Em situações assim, podemos usar o conceito de circulação em torno de singularidades. Sabemos que para um campo como
, que representa uma rotação ao redor da origem, a circulação ao redor de um caminho que contém a origem é
. Como a curva
envolve a origem, a integral de linha será igual a
.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linha
j) onde
e
é uma curva contida no conjunto
que vai do ponto
ao ponto
;
j)
Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
e)
e)
Calcule as integrais de linha
b) onde
e
é a curva parametrizada por
;
b)
Calcule as integrais de linha
-
e é a fronteira da região triangular com vértices e , orientada no sentido anti-horário.