Seja
c) Calcule
ao longo da parábola
;
c) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha da função vetorial
ao longo da parábola
indo do ponto
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a curva, substituir na função vetorial e depois calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como a parábola é dada por
, podemos usar
como parâmetro. Assim, escolhemos:
Então, nosso vetor posição
fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor diferencial
. Para isso, derivamos
em relação a
:
Então,
Passo 4
Vamos substituir
e
na fun�o vetorial
usando a parametrização:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando o numerador:
Portanto,
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Essa integral representa a integral de linha da função vetorial
ao longo da parábola dada.
Resposta
A integral
ao longo da parábola
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linha
-
e é a fronteira da região triangular com vértices e , orientada no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linha
b) onde
e
é a curva parametrizada por
;
b)
Suponha que
um campo de forças contínuo e que sob a ação da força
, uma partícula de massa
desloca-se de
até
sob uma trajetória descrita pela função
.
a) Prove que o trabalho realizado por de
até
é
a) Prove que o trabalho realizado por
em que
é a energia cinética.
Calcule as integrais de linha
k) onde
e
é uma curva que vai do ponto
ao ponto
;
k)