Seja
c) Calcule ao longo da parábola ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha da função vetorial ao longo da parábola indo do ponto até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a curva, substituir na função vetorial e depois calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como a parábola é dada por , podemos usar como parâmetro. Assim, escolhemos:
Então, nosso vetor posição fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor diferencial . Para isso, derivamos em relação a :
Então,

Passo 4

Vamos substituir e na funç��o vetorial usando a parametrização:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando o numerador:
Portanto,

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Essa integral representa a integral de linha da função vetorial ao longo da parábola dada.

Resposta

A integral ao longo da parábola é igual a .

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