Seja F(x, y)=-y i+x jx^2+y^2
c) Calcule integral(1,0)^(2,1) F cdot d r ao longo da parábola y=(x-1)^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha da função vetorial ao longo da parábola indo do ponto até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a curva, substituir na função vetorial e depois calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como a parábola é dada por x = t onde t varia de 1 a 2 , podemos usar y = (t - 1)^2 como parâmetro. Assim, escolhemos:
r(t) = t i + (t - 1)^2 j
Então, nosso vetor posição fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor diferencial drdt = ddt( t i + (t - 1)^2 j ) = i + 2(t - 1) j . Para isso, derivamos dr = ( i + 2(t - 1) j ) dt em relação a :
Então,

Passo 4

Vamos substituir F(x, y) = -y i + x jx^2 + y^2 = - (t - 1)^2 i + t j t^2 + (t - 1)^4 e na funç��o vetorial usando a parametrização:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr = - (t - 1)^2 cdot 1 + t cdot 2(t - 1) t^2 + (t - 1)^4 dt :
- (t - 1)^2 + 2t(t - 1) = - (t^2 - 2t + 1) + 2t^2 - 2t = t^2 - 0t - 1
Simplificando o numerador:
F cdot dr = t^2 - 1 t^2 + (t - 1)^4 dt
Portanto,

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral1^2 t^2 - 1 t^2 + (t - 1)^4 dt
Essa integral representa a integral de linha da função vetorial ao longo da parábola dada.

Resposta

A integral ao longo da parábola é igual a .

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