Calcule as integrais de linha
j) onde e é uma curva contida no conjunto que vai do ponto ao ponto ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular , onde é um campo vetorial complicado e é uma curva dentro da esfera que vai de até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar tal que . Se o campo for conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.

Passo 3

Vamos verificar se é conservativo. Olhando para , percebemos que cada componente é a derivada parcial de uma função escalar.

Passo 4

Vamos tentar encontrar a função potencial . Observando as componentes de , notamos que:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante, que podemos ignorar para nosso propósito.

Passo 5

Agora que temos a função potencial , podemos calcular a integral de linha usando o teorema fundamental para integrais de linha em campos conservativos:

Passo 6

Vamos calcular nos pontos inicial e final.
Para o ponto inicial :
Para o ponto final :

Resposta

A integral de linha é:

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Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
e)
Suponha que um campo de forças contínuo e que sob a ação da força , uma partícula de massa desloca-se de até sob uma trajetória descrita pela função .
b) Se é conservativo com função potencial , verifique que o trabalho realizado por de até é
em que é a energia potencial.
Seja
e) Calcule onde é uma curva definida por , orientada no sentido decrescente de .
Calcule as integrais de linha
b) onde e é a curva parametrizada por ;