Calcule as integrais de linha
j) integralC F cdot d r onde F(x, y, z)=-xraiz9-x^2-y^2-z^2 i+-yraiz9-x^2-y^2-z^2 j+-zraiz9-x^2-y^2-z^2 k e C é uma curva contida no conjunto (x, y, z) / x^2+y^2+z^2<9 que vai do ponto (-2,0,1) ao ponto (0,2,2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular , onde é um campo vetorial complicado e é uma curva dentro da esfera que vai de até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar tal que . Se o campo for conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.

Passo 3

Vamos verificar se é conservativo. Olhando para , percebemos que cada componente é a derivada parcial de uma função escalar.

Passo 4

Vamos tentar encontrar a função potencial partial phipartial x = -xraiz9 - x^2 - y^2 - z^2 . Observando as componentes de phi(x, y, z) = raiz9 - x^2 - y^2 - z^2 + C , notamos que:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante, que podemos ignorar para nosso propósito.

Passo 5

Agora que temos a função potencial integralC F cdot dr = phi(Ponto Final) - phi(Ponto Inicial) , podemos calcular a integral de linha usando o teorema fundamental para integrais de linha em campos conservativos:

Passo 6

Vamos calcular phi(-2, 0, 1) = raiz9 - (-2)^2 - 0^2 - 1^2 = raiz9 - 4 - 0 - 1 = raiz4 = 2 nos pontos inicial e final.
Para o ponto inicial phi(0, 2, 2) = raiz9 - 0^2 - 2^2 - 2^2 = raiz9 - 0 - 4 - 4 = raiz1 = 1 :
Para o ponto final :

Resposta

A integral de linha é:
integralC F cdot dr = 1 - 2 = -1

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