Calcule as integrais de linha
j)
onde
e
é uma curva contida no conjunto
que vai do ponto
ao ponto
;
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular
, onde
é um campo vetorial complicado e
é uma curva dentro da esfera
que vai de
até
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente campos conservativos e potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Se o campo for conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.
Passo 3
Vamos verificar se
é conservativo. Olhando para
, percebemos que cada componente é a derivada parcial de uma função escalar.
Passo 4
Vamos tentar encontrar a função potencial
. Observando as componentes de
, notamos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante, que podemos ignorar para nosso propósito.
Passo 5
Agora que temos a função potencial
, podemos calcular a integral de linha usando o teorema fundamental para integrais de linha em campos conservativos:
Passo 6
Vamos calcular
nos pontos inicial e final.
Para o ponto inicial
:
Para o ponto final
:
Resposta
A integral de linha é: