Calcule as integrais de linha
i)
e
é a curva formada pelos segmentos de reta partindo do ponto
para o ponto
depois do ponto
para o ponto
e voltando para o ponto
;
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de integrais de linha. A gente precisa calcular a integral ao longo de uma curva
que é feita por três segmentos de reta: de
para
, de
para
e de volta para
. A função que a gente vai integrar é
. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar cada segmento da curva e calcular a integral em cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a curva
em três partes:
-
: de para -
: de para -
: de para
Vamos calcular a integral em cada uma dessas partes e depois somar os resultados.
Passo 3
Calculando a integral em
:
Nesse segmento,
, pois estamos movendo de
para
ao longo do eixo
.
Parâmetros:
-
varia de 0 a 1 -
-
(pois é constante)
A função a ser integrada fica:
Então, a integral em
é:
Essa integral não tem uma antiderivada elementar, então a gente vai deixar ela para calcular mais tarde ou usar métodos numéricos, mas vamos ver se conseguimos simplificar com as outras integrais.
Passo 4
Calculando a integral em
:
Nesse segmento, estamos indo de
para
. Podemos parametrizar essa reta de maneira linear.
Parâmetros:
- Vamos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1. -
-
-
-
Substituindo na função a ser integrada:
Simplificando:
Essa integral também é bem complicada para resolver analiticamente, então vamos manter esse para cálculo numérico ou buscar uma simplificação.
Passo 5
Calculando a integral em
:
Aqui, vamos voltar de
para
. Nesse caminho,
, pois estamos se movendo verticalmente ao longo do eixo
.
Parâmetros:
-
varia de 1 para 0 -
-
(pois é constante)
A função a ser integrada fica:
Então, a integral em
é:
Vamos inverter os limites para facilitar:
Passo 6
Somando todas as integrais:
Agora vamos somar as contribuições de
,
e
:
Observando, notamos que as integrais envolvendo
se cancelam parcialmente:
Passo 7
Calculando as integrais restantes:
Vamos calcular cada uma separadamente.
- Primeira integral:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando substituição trigonométrica, mas é mais prática resolver numericamente:
- Segunda integral:
Novamente, essa integral é melhor avaliada numericamente:
Resposta
A integral de linha ao longo da curva
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linha
c) onde
e
é a curva parametrizada por
;
c)
Seja o campo
a) Determine para que
seja conservativo;
a) Determine
Determine a area da região limitada por
. (Dica: Teorema de Green).
Seja
d) Calcule onde
é uma curva fechada de classe
que envolve a origem, orientada no sentido anti-horário;
d) Calcule