Calcule as integrais de linha
i) e é a curva formada pelos segmentos de reta partindo do ponto para o ponto depois do ponto para o ponto e voltando para o ponto ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de integrais de linha. A gente precisa calcular a integral ao longo de uma curva que é feita por três segmentos de reta: de para , de para e de volta para . A função que a gente vai integrar é . Para resolver isso, vamos precisar parametrizar cada segmento da curva e calcular a integral em cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a curva em três partes:
  1. : de para
  2. : de para
  3. : de para
Vamos calcular a integral em cada uma dessas partes e depois somar os resultados.

Passo 3

Calculando a integral em :
Nesse segmento, , pois estamos movendo de para ao longo do eixo .
Parâmetros:
  • varia de 0 a 1
  • (pois é constante)
A função a ser integrada fica:
Então, a integral em é:
Essa integral não tem uma antiderivada elementar, então a gente vai deixar ela para calcular mais tarde ou usar métodos numéricos, mas vamos ver se conseguimos simplificar com as outras integrais.

Passo 4

Calculando a integral em :
Nesse segmento, estamos indo de para . Podemos parametrizar essa reta de maneira linear.
Parâmetros:
  • Vamos usar um parâmetro que varia de 0 a 1.
Substituindo na função a ser integrada:
Simplificando:
Essa integral também é bem complicada para resolver analiticamente, então vamos manter esse para cálculo numérico ou buscar uma simplificação.

Passo 5

Calculando a integral em :
Aqui, vamos voltar de para . Nesse caminho, , pois estamos se movendo verticalmente ao longo do eixo .
Parâmetros:
  • varia de 1 para 0
  • (pois é constante)
A função a ser integrada fica:
Então, a integral em é:
Vamos inverter os limites para facilitar:

Passo 6

Somando todas as integrais:
Agora vamos somar as contribuições de , e :
Observando, notamos que as integrais envolvendo se cancelam parcialmente:

Passo 7

Calculando as integrais restantes:
Vamos calcular cada uma separadamente.
  1. Primeira integral:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando substituição trigonométrica, mas é mais prática resolver numericamente:
  1. Segunda integral:
Novamente, essa integral é melhor avaliada numericamente:

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais de linha
c) onde e é a curva parametrizada por ;
Seja o campo
a) Determine para que seja conservativo;
Determine a area da região limitada por . (Dica: Teorema de Green).
Seja
d) Calcule onde é uma curva fechada de classe que envolve a origem, orientada no sentido anti-horário;