Determine a area da região limitada por α(θ) = (cos(θ), sen^3(θ)), θ ∈ [0, 2*pi]. (Dica: Teorema de Green).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pela curva parametrizada por , onde varia de a . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, que nos ajuda a calcular áreas de regiões no plano usando integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Para calcular a área da região, usamos uma forma especial do Teorema de Green:
Aqui, é a curva que delimita a região.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa curva . Primeiro, precisamos expressar , , e em termos de :
Calculando as derivadas em relação a :

Passo 4

Substituindo essas expressões na fórmula da área, temos:
Simplificando:
Agora, podemos integrar termo a termo:
Usando identidades trigonométricas para simplificar as integrais, encontramos que:

Resposta

A área da região limitada pela curva é .

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