Determine a area da região limitada por
. (Dica: Teorema de Green).
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pela curva parametrizada por
, onde
varia de
a
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, que nos ajuda a calcular áreas de regiões no plano usando integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Para calcular a área
da região, usamos uma forma especial do Teorema de Green:
Aqui,
é a curva que delimita a região.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa curva
. Primeiro, precisamos expressar
,
,
e
em termos de
:
Calculando as derivadas em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas expressões na fórmula da área, temos:
Simplificando:
Agora, podemos integrar termo a termo:
Usando identidades trigonométricas para simplificar as integrais, encontramos que:
Resposta
A área da região limitada pela curva é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linha
i) e
é a curva formada pelos segmentos de reta partindo do ponto
para o ponto
depois do ponto
para o ponto
e voltando para o ponto
;
i)
Calcule as integrais de linha
c) onde
e
é a curva parametrizada por
;
c)
Seja
d) Calcule onde
é uma curva fechada de classe
que envolve a origem, orientada no sentido anti-horário;
d) Calcule
Suponha que
um campo de forças contínuo e que sob a ação da força
, uma partícula de massa
desloca-se de
até
sob uma trajetória descrita pela função
.
b) Se é conservativo com função potencial
, verifique que o trabalho realizado por
de
até
é
b) Se
em que
é a energia potencial.