Determine a area da região limitada por
. (Dica: Teorema de Green).
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pela curva parametrizada por
, onde
varia de
a
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, que nos ajuda a calcular áreas de regiões no plano usando integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Para calcular a área
da região, usamos uma forma especial do Teorema de Green:
Aqui,
é a curva que delimita a região.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa curva
. Primeiro, precisamos expressar
,
,
e
em termos de
:
Calculando as derivadas em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas expressões na fórmula da área, temos:
Simplificando:
Agora, podemos integrar termo a termo:
Usando identidades trigonométricas para simplificar as integrais, encontramos que:
Resposta
A área da região limitada pela curva é
.