Vamos calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva é parametrizada por para .
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha.
O que vamos precisar:
Entender como parametrizar a curva .
Calcular a derivada da parametrização .
Substituir a parametrização na função .
Calcular o produto escalar .
Integrar o resultado em relação a de a .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da parametrização em relação a . Isso nos dará , que representa a derivada posição em relação ao parâmetro .
Dada:
Então:
Passo 3
Agora, vamos substituir a parametrização na função . Isso significa substituir , e em pelas componentes de .
Dada:
Substituindo :
Passo 4
Em seguida, calculamos o produto escalar . Esse produto escalar é essencial para a integral de linha.
Produto escalar:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado do produto escalar em relação a de a . A integral de linha fica então:
Vamos calcular cada termo separadamente:
Passo 6
Calculando o primeiro termo:
Calculando o segundo termo:
Usamos a identidade trigonométrica integral0^pi sin t cos t , dt = 12 integral0^pi sin 2t , dt = 12 ( -12 cos 2t ) |0^pi = -14 ( cos 2pi - cos 0 ) = -14 (1 - 1) = 0 .
integral t sin t , dt = -t cos t + integral cos t , dt = -t cos t + sin t + C
Calculando o terceiro termo:
Usamos integração por partes, onde ( -t cos t + sin t ) |0^pi = ( -pi cos pi + sin pi ) - ( -0 cos 0 + sin 0 ) = -pi (-1) + 0 - (0 + 0) = pi e . Então, e .