Calcule as integrais de linha:
© integralC F. dr, onde F(x, y, x)=(z, y,-x) e C: r(t)=(t, sen t, cos t), 0 <= t <= pi.

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva é parametrizada por para .
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha.
O que vamos precisar:
  • Entender como parametrizar a curva .
  • Calcular a derivada da parametrização .
  • Substituir a parametrização na função .
  • Calcular o produto escalar .
  • Integrar o resultado em relação a de a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da parametrização r(t) = ( t, sin t, cos t ) em relação a r'(t) = ( ddtt, ddtsin t, ddtcos t ) = ( 1, cos t, -sin t ) . Isso nos dará , que representa a derivada posição em relação ao parâmetro .
Dada:
Então:

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização F(x, y, z) = (z, y, -x) na função F(r(t)) = ( cos t, sin t, -t ) . Isso significa substituir , e em pelas componentes de .
Dada:
Substituindo :

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar F(r(t)) = ( cos t, sin t, -t ) . Esse produto escalar é essencial para a integral de linha.
r'(t) = ( 1, cos t, -sin t )
F(r(t)) cdot r'(t) = (cos t)(1) + (sin t)(cos t) + (-t)(-sin t)
Produto escalar:
= cos t + sin t cos t + t sin t

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado do produto escalar em relação a integral0^pi ( cos t + sin t cos t + t sin t ) dt de a . A integral de linha fica então:
Vamos calcular cada termo separadamente:

Passo 6

Calculando o primeiro termo:
integral0^pi cos t , dt = sin t |0^pi = sin pi - sin 0 = 0 - 0 = 0
Calculando o segundo termo:
Usamos a identidade trigonométrica integral0^pi sin t cos t , dt = 12 integral0^pi sin 2t , dt = 12 ( -12 cos 2t ) |0^pi = -14 ( cos 2pi - cos 0 ) = -14 (1 - 1) = 0 .
integral t sin t , dt = -t cos t + integral cos t , dt = -t cos t + sin t + C
Calculando o terceiro termo:
Usamos integração por partes, onde ( -t cos t + sin t ) |0^pi = ( -pi cos pi + sin pi ) - ( -0 cos 0 + sin 0 ) = -pi (-1) + 0 - (0 + 0) = pi e . Então, e .
Agora, aplicando os limites:

Passo 7

Somando os resultados dos três termos:
0 + 0 + pi = pi

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Calcule as integrais de linha:
(h) integralC F. dr, em que F(x, y, z)=(e^y, x e^y,(z+1) e^z) e C: r(t)=(t, t^2, t^3), 0 <= t <= 1.