Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) = (x sen y, y em uma partícula que se move sobre a parábola y = x^2 de (-1, 1) a 2,4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo de força e uma partícula que se move ao longo da parábola , indo do ponto até . Nosso objetivo é calcular o trabalho realizado por esse campo de força durante esse movimento.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma trajetória. Vamos precisar parametrizar a curva e integrar o produto escalar entre o campo de força e o diferencial de deslocamento ao longo dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a trajetória. Sabemos que a partícula se move ao longo da parábola . Podemos usar x como nosso parâmetro. Portanto, podemos expressar a posição da partícula como:
Aqui, x varia de -1 a , que são as coordenadas iniciais e finais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial de deslocamento . Para isso, derivamos em relação a x:
Então,

Passo 4

O trabalho W realizado pelo campo de força ao longo da trajetória é dado pela integral do produto escalar entre F e de a x = 2:
Substituindo e , temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral separadamente. Primeiro, a parte que envolve :
Para , fazemos uma substituição:
  • Seja
  • Então, ou
A integral se torna:
Agora, a segunda parte da integral, :

Passo 6

Agora, combinando as duas integrais e avaliando de a x = 2:
Calculando em x = 2:
E em :
Subtraindo:
Simplificando:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é:

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