Determine o trabalho realizado pelo campo de força
sen
em uma partícula que se move sobre a parábola
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo de força
e uma partícula que se move ao longo da parábola
, indo do ponto
até
. Nosso objetivo é calcular o trabalho realizado por esse campo de força durante esse movimento.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma trajetória. Vamos precisar parametrizar a curva e integrar o produto escalar entre o campo de força e o diferencial de deslocamento ao longo dessa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a trajetória. Sabemos que a partícula se move ao longo da parábola
. Podemos usar
como nosso parâmetro. Portanto, podemos expressar a posição da partícula como:
Aqui,
varia de
a
, que são as coordenadas iniciais e finais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial de deslocamento
. Para isso, derivamos
em relação a
:
Então,
Passo 4
O trabalho
realizado pelo campo de força ao longo da trajetória é dado pela integral do produto escalar entre
e
de
a
:
Substituindo
e
, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral separadamente. Primeiro, a parte que envolve
:
Para
, fazemos uma substituição:
- Seja
- Então,
ou
A integral se torna:
Agora, a segunda parte da integral,
:
Passo 6
Agora, combinando as duas integrais e avaliando de
a
:
Calculando em
:
E em
:
Subtraindo:
Simplificando:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é: