Enuncie e escreva a demonstração do Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você pediu é para enunciar e demonstrar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha. Esse teorema faz parte do estudo de cálculo vetorial e integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, campos vetoriais e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos enunciar o teorema. O Teorema Fundamental das Integrais de Linha diz que se tivermos um campo vetorial conservativo, ou seja, um campo que pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar
(ou seja,
), então a integral de linha de
ao longo de qualquer curva
de um ponto
a um ponto
depende apenas dos valores de
em
e
. Em outras palavras:
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa a integral de linha. Uma integral de linha calcula a soma acumulada de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. Matemáticamente, é expressa como:
Aqui,
é um vetor tangente à curva
em cada ponto.
Passo 4
Um campo vetorial
é chamado de conservativo se existir uma função escalar
tal que
. A função
é chamada de função potencial para
. Isso significa que
pode ser derivado de
através das derivadas parciais:
Passo 5
Vamos agora à demonstração do teorema. Suponha que
e que
é uma curva suave de
a
. A integral de linha fica:
Passo 6
Pelo teorema fundamental do cálculo para várias variáveis, sabemos que:
Isso acontece porque a integral acumula as mudanças de
ao longo de
, e como
é o gradiente de
, a integral simplifica para a diferença dos valores de
nos pontos finais.
Resposta
Portanto, o Teorema Fundamental das Integrais de Linha estabelece que para um campo vetorial conservativo
, a integral de linha de
ao longo de uma curva
de
a
é igual à diferença
.