Enuncie e escreva a demonstração do Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você pediu é para enunciar e demonstrar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha. Esse teorema faz parte do estudo de cálculo vetorial e integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, campos vetoriais e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos enunciar o teorema. O Teorema Fundamental das Integrais de Linha diz que se tivermos um campo vetorial conservativo, ou seja, um campo que pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar (ou seja, ), então a integral de linha de ao longo de qualquer curva de um ponto a um ponto depende apenas dos valores de em e . Em outras palavras:
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa a integral de linha. Uma integral de linha calcula a soma acumulada de um campo vetorial ao longo de uma curva . Matemáticamente, é expressa como:
Aqui, é um vetor tangente à curva em cada ponto.
Passo 4
Um campo vetorial é chamado de conservativo se existir uma função escalar tal que . A função é chamada de função potencial para . Isso significa que pode ser derivado de através das derivadas parciais:
Passo 5
Vamos agora à demonstração do teorema. Suponha que e que é uma curva suave de a . A integral de linha fica:
Passo 6
Pelo teorema fundamental do cálculo para várias variáveis, sabemos que:
Isso acontece porque a integral acumula as mudanças de ao longo de , e como é o gradiente de , a integral simplifica para a diferença dos valores de nos pontos finais.
Resposta
Portanto, o Teorema Fundamental das Integrais de Linha estabelece que para um campo vetorial conservativo , a integral de linha de ao longo de uma curva de a é igual à diferença .