Calcule as integrais de linha:
(h)
. dr, em que
e
.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha
, onde o campo vetorial é
e a curva
é parametrizada por
para
. Vamos precisar usar a definição de integral de linha para campos vetoriais e calcular a derivada da parametrização da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada por
é dada por:
Aqui,
e
são os limites de
, que neste caso são 0 e 1.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da parametrização
:
Passo 4
Agora, substituímos
na função
:
Passo 5
Calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Observamos que:
E para a segunda parte:
Fazendo a substituição
,
, temos:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A integral de linha é
.