Calcule as integrais de linha:
(h) integralC F. dr, em que F(x, y, z)=(e^y, x e^y,(z+1) e^z) e C: r(t)=(t, t^2, t^3), 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva é parametrizada por para . Vamos precisar usar a definição de integral de linha para campos vetoriais e calcular a derivada da parametrização da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada por integralC F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r,'(t) , dt é dada por:
Aqui, e são os limites de , que neste caso são 0 e 1.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da parametrização r,'(t) = ( ddt t, ddt t^2, ddt t^3 ) = (1, 2t, 3t^2) :

Passo 4

Agora, substituímos F(r(t)) = (e^t^2, t cdot e^t^2, (t^3 + 1) e^t^3) na função :

Passo 5

Calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r,'(t) = e^t^2 cdot 1 + t e^t^2 cdot 2t + (t^3 + 1) e^t^3 cdot 3t^2 :
e^t^2 + 2t^2 e^t^2 + 3t^2(t^3 + 1) e^t^3 = e^t^2(1 + 2t^2) + 3t^2(t^3 + 1) e^t^3
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de integral0^1 [ e^t^2(1 + 2t^2) + 3t^2(t^3 + 1) e^t^3 ] dt a integral e^t^2(1 + 2t^2) dt = e^t^2 + C :
integral 3t^2(t^3 + 1) e^t^3 dt
Observamos que:
integral (u + 1) e^u du = (u + 1) e^u - e^u + C = u e^u + C = t^3 e^t^3 + C
E para a segunda parte:
Fazendo a substituição , , temos:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
[ e^t^2 ]0^1 + [ t^3 e^t^3 ]0^1 = (e^1 - e^0) + (1 cdot e^1 - 0) = (e - 1) + e = 2e - 1

Resposta

A integral de linha é .

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