Resolva o seguinte problema de valor inicial:
d/dx y = 4/(x^2 - 4x + 5) + 3^(1-x), y(2) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais, e vamos precisar usar técnicas de integração para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e também a condição inicial .

Passo 3

Vamos começar integrando ambos os lados da equação em relação a :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração que vamos determinar depois.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral: .
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
Aplicando isso aqui, com e :

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: .
Podemos reescrever como .
Lembrando que:
Aqui, e , então:

Passo 6

Juntando as duas integrais, temos:

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Simplificando:
Sabemos que , então:
Logo:

Resposta

A solução do problema é:

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