Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais, e vamos precisar usar técnicas de integração para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e também a condição inicial
.
Passo 3
Vamos começar integrando ambos os lados da equação em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar depois.
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral:
.
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
Aplicando isso aqui, com
e
:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral:
.
Podemos reescrever
como
.
Lembrando que:
Aqui,
e
, então:
Passo 6
Juntando as duas integrais, temos:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Logo:
Resposta
A solução do problema é: