Calcule as integrais de linha
d) integralC y d x+z d y+x d z e C é a fronteira do triângulo de vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1), percorrido nessa ordem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha da forma , onde é a fronteira de um triângulo com vértices nos pontos , e , percorrida nessa ordem. Vamos usar conceitos de cálculo vectorial, especificamente integrais de linha em espaços tridimensionais. Precisaremos parametrizar cada lado do triângulo para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três segmentos que formam a curva :
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Segmento 1: De x(t) = 1 - t y(t) = t z(t) = 0 a dxdt = -1, dydt = 1, dzdt = 0
Vamos parametrizar esse trecho usando um parâmetro integral0^1 [ y dxdt + z dydt + x dzdt ] dt = integral0^1 [ t(-1) + 0(1) + (1 - t)(0) ] dt = integral0^1 -t , dt que varia de 0 a 1:
- integral0^1 t , dt = -[ t^22 ]0^1 = -( 12 - 0 ) = -12
As derivadas são:
Agora, substituímos na integral:
Calculando a integral:

Passo 4

Segmento 2: De x(t) = 0 y(t) = 1 - t z(t) = t a dxdt = 0, dydt = -1, dzdt = 1
Parametrização com integral0^1 [ y dxdt + z dydt + x dzdt ] dt = integral0^1 [ (1 - t)(0) + t(-1) + 0(1) ] dt = integral0^1 -t , dt de 0 a 1:
- integral0^1 t , dt = -[ t^22 ]0^1 = -12
Derivadas:
Substituindo na integral:
Calculando a integral:

Passo 5

Segmento 3: De x(t) = t y(t) = 0 z(t) = 1 - t a dxdt = 1, dydt = 0, dzdt = -1
Parametrização com integral0^1 [ y dxdt + z dydt + x dzdt ] dt = integral0^1 [ 0(1) + (1 - t)(0) + t(-1) ] dt = integral0^1 -t , dt de 0 a 1:
- integral0^1 t , dt = -12
Derivadas:
Substituindo na integral:
Calculando a integral:

Passo 6

Agora, vamos somar as integrais dos três segmentos:
Total = -12 + (-12) + (-12) = -32

Resposta

O valor da integral de linha é .

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