Calcule as integrais de linha
d) e é a fronteira do triângulo de vértices e , percorrido nessa ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha da forma , onde é a fronteira de um triângulo com vértices nos pontos , e , percorrida nessa ordem. Vamos usar conceitos de cálculo vectorial, especificamente integrais de linha em espaços tridimensionais. Precisaremos parametrizar cada lado do triângulo para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os três segmentos que formam a curva :
De a
De a
De a
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Segmento 1: De a
Vamos parametrizar esse trecho usando um parâmetro que varia de 0 a 1:
As derivadas são:
Agora, substituímos na integral:
Calculando a integral:
Passo 4
Segmento 2: De x(t) = 0 y(t) = 1 - t z(t) = t a dxdt = 0, dydt = -1, dzdt = 1
Parametrização com integral0^1 [ y dxdt + z dydt + x dzdt ] dt = integral0^1 [ (1 - t)(0) + t(-1) + 0(1) ] dt = integral0^1 -t , dt de 0 a 1:
- integral0^1 t , dt = -[ t^22 ]0^1 = -12
Derivadas:
Substituindo na integral:
Calculando a integral:
Passo 5
Segmento 3: De x(t) = t y(t) = 0 z(t) = 1 - t a dxdt = 1, dydt = 0, dzdt = -1
Parametrização com integral0^1 [ y dxdt + z dydt + x dzdt ] dt = integral0^1 [ 0(1) + (1 - t)(0) + t(-1) ] dt = integral0^1 -t , dt de 0 a 1:
- integral0^1 t , dt = -12
Derivadas:
Substituindo na integral:
Calculando a integral:
Passo 6
Agora, vamos somar as integrais dos três segmentos: