Seja
. Determine: ©
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função vetorial
. A questão pede para calcular o limite quando
tende a 0 do produto escalar entre
e a sua derivada
. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas de funções vetoriais, produto escalar e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função vetorial
. A derivada de um vetor é obtida derivando cada uma das suas componentes. Então:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a expressão simplificada do produto escalar, podemos calcular o limite quando
tende a 0:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linha
d) e
é a fronteira do triângulo de vértices
e
, percorrido nessa ordem.
d)
Calcule as integrais de superfície
nos seguintes casos
g) e
é parte do cone
que esta entre os planos
e
orientação descedente.
g)
Calcule a integral definida:
[Exercício sobre derivada direcional] Calcule
, em que
e
é o versor de
.