Seja r(t)=cos t i+sen t j+k. Determine: © lim t 0(r(t) cdot r^prime(t)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função vetorial r(t) = cos t i + sen t j + k. A questão pede para calcular o limite quando t tende a 0 do produto escalar entre r(t) e a sua derivada r^prime(t). Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas de funções vetoriais, produto escalar e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função vetorial r(t). A derivada de um vetor é obtida derivando cada uma das suas componentes. Então:
r^prime(t) = ddt [cos t i + sen t j + k] = -sen t i + cos t j + 0 k
Simplificando:
r^prime(t) = -sen t i + cos t j

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar r(t) cdot r^prime(t). O produto escalar entre dois vetores a = ax i + ay j + az k e b = bx i + by j + bz k é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Aplicando isso aos nossos vetores:
r(t) cdot r^prime(t) = (cos t)(-sen t) + (sen t)(cos t) + (1)(0)
Simplificando:
r(t) cdot r^prime(t) = -cos t sen t + sen t cos t + 0 = 0

Passo 4

Agora que temos a expressão simplificada do produto escalar, podemos calcular o limite quando t tende a 0:
limt 0 ( r(t) cdot r^prime(t) ) = limt 0 0 = 0

Resposta

O limite é 0.

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