Resolva o problema de valor inicial vetorial para y(t) por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração: 48. y''(t) = 12 t^2 i - 2 t j, y(0) = 2 i - 4 j, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial vetorial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem envolvendo vetores e algumas condições iniciais. Vamos precisar usar integração para achar a função vetorial . Vou te guiar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação dada: . Isso significa que a segunda derivada de em relação a é igual a na direção de e na direção de . Para achar , precisamos integrar essa expressão duas vezes.

Passo 3

Vamos começar integrando para encontrar a primeira derivada, . A integral de em relação a é , e a integral de é . Além disso, adicionamos uma constante de integração para cada componente:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante de integração . Substituindo na expressão de :
Então, a primeira derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar para encontrar a função . A integral de é , e a integral de é . Também adicionamos outra constante de integração:

Passo 6

Usamos agora a condição inicial para encontrar . Substituindo :
Então, a função final fica:

Resposta

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Calcule a integral de linha integralC F cdot d x onde a curva C é dada pela parametrização x(t).
F(x, y, z)=(z, y,-x), x(t)=(t, sin t, cos t) e 0 <= t <= pi.
Encontre as equações das seguintes retas:
Reta vertical que passa pelo ponto (3,-5)
Calcule as integrais de superfície integral duplaS F cdot d S nos seguintes casos
g) F(x, y, z)=-x i-y j+z^3 k e S é parte do cone z=raizx^2+y^2 que esta entre os planos z=1 e z=3 orientação descedente.
Calcule as integrais de linha
d) integralC y d x+z d y+x d z e C é a fronteira do triângulo de vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1), percorrido nessa ordem.