Calcule a integral definida: integral-3^3lang<=(3-t)^3 / 2,(3+t)^3 / 2, 1rang<= d t

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral definida de uma função vetorial de no intervalo de a . A função vetorial é . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais de funções vetoriais e entender o conceito de integração componente a componente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função vetorial é calculada integrando cada componente da função separadamente. Ou seja,
integral-3^3lang<=(3-t)^3 / 2,; (3+t)^3 / 2,; 1rang<= dt = lang<= integral-3^3 (3-t)^3/2 dt,; integral-3^3 (3+t)^3/2 dt,; integral-3^3 1 dt rang<=

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira componente: integral6^0 u^3/2 (-du) = integral0^6 u^3/2 du . Para isso, fazemos uma substituição para simplificar a expressão. Seja integral u^3/2 du = 25 u^5/2 + C , então 25 (6)^5/2 - 25 (0)^5/2 = 25 cdot 6^5/2 . Quando 6^5/2 = (6^1/2)^5 = (raiz6)^5 , ; quando , . Substituindo, a integral fica:
Integrando:
Então, avaliando de 0 a 6:
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos integrar a segunda componente: integral0^6 v^3/2 dv . Fazemos uma substituição semelhante. Seja integral v^3/2 dv = 25 v^5/2 + C , então 25 cdot 6^5/2 - 25 cdot 0^5/2 = 25 cdot 6^5/2 . Quando , ; quando , . Então, a integral fica:
Integrando:
Avaliando de 0 a 6:

Passo 5

Por último, vamos integrar a terceira componente: integral-3^3 1 dt = t |-3^3 = 3 - (-3) = 6 . Essa é uma integral simples:

Resposta

A integral definida é igual ao vetor:
lang<= 25 cdot 6^5/2,; 25 cdot 6^5/2,; 6 rang<=

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