Calcule as integrais de superfície nos seguintes casos
g) e é parte do cone que esta entre os planos e orientação descedente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial . A superfície é uma parte do cone entre os planos e , com orientação descendente. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone, calcular o elemento de área e depois calcular o produto escalar com o campo . Então, vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cone . Um jeito legal de fazer isso é usando coordenadas cilíndricas, onde , , e . Isso simplifica nossa vida porque o cone tem simetria circular.
Então, nossos parâmetros são (a distância do eixo ) e (o ângulo ao redor do eixo ). Com isso, a parametrização fica:
Aqui, varia de 1 a 3 (já que vai de 1 a 3) e varia de 0 a .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área da superfície. Para isso, calculamos os vetores tangentes à superfície em relação a e :
O elemento de área é dado pelo produto vetorial desses dois vetores:
Calculando o determinante:
A orientação descendente significa que o vetor normal deve apontar para baixo, então multiplicamos por :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar F(r, theta) = - r cos theta , i - r sin theta , j + r^3 , k . Primeiro, substituímos F cdot dS = (- r cos theta)(r cos theta) + (- r sin theta)(- r sin theta) + (r^3)(- r) , dr , dtheta na parametrização do cone: