Calcule as integrais de superfície integral duplaS F cdot d S nos seguintes casos
g) F(x, y, z)=-x i-y j+z^3 k e S é parte do cone z=raizx^2+y^2 que esta entre os planos z=1 e z=3 orientação descedente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial . A superfície é uma parte do cone entre os planos e , com orientação descendente. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone, calcular o elemento de área e depois calcular o produto escalar com o campo . Então, vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cone r(r, theta) = r cos theta , i + r sin theta , j + r , k . Um jeito legal de fazer isso é usando coordenadas cilíndricas, onde , , e . Isso simplifica nossa vida porque o cone tem simetria circular.
Então, nossos parâmetros são (a distância do eixo ) e (o ângulo ao redor do eixo ). Com isso, a parametrização fica:
Aqui, varia de 1 a 3 (já que vai de 1 a 3) e varia de 0 a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área rr = partial rpartial r = cos theta , i + sin theta , j + k da superfície. Para isso, calculamos os vetores tangentes à superfície em relação a rtheta = partial rpartial theta = -r sin theta , i + r cos theta , j e rr times rtheta = i & j & k cos theta & sin theta & 1 - r sin theta & r cos theta & 0 :
rr times rtheta = (- r cos theta) i - (- r sin theta) j + (r (cos^2 theta + sin^2 theta)) k
= - r cos theta , i + r sin theta , j + r , k
O elemento de área é dado pelo produto vetorial desses dois vetores:
dS = - (rr times rtheta) , dr , dtheta = r cos theta , i - r sin theta , j - r , k , dr , dtheta
Calculando o determinante:
A orientação descendente significa que o vetor normal deve apontar para baixo, então multiplicamos por :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar F(r, theta) = - r cos theta , i - r sin theta , j + r^3 , k . Primeiro, substituímos F cdot dS = (- r cos theta)(r cos theta) + (- r sin theta)(- r sin theta) + (r^3)(- r) , dr , dtheta na parametrização do cone:
= - r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta - r^4 , dr , dtheta
Agora, o produto escalar:
F cdot dS = r^2 (sin^2 theta - cos^2 theta) - r^4 , dr , dtheta
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão sobre integral duplaS F cdot dS = integral0^2pi integral1^3 [ r^2 (sin^2 theta - cos^2 theta) - r^4 ] dr , dtheta de 1 a 3 e = integral0^2pi integral1^3 r^2 (sin^2 theta - cos^2 theta) dr , dtheta - integral0^2pi integral1^3 r^4 dr , dtheta de 0 a integral1^3 r^2 dr = [ r^33 ]1^3 = 273 - 13 = 263 :
263 integral0^2pi (sin^2 theta - cos^2 theta) dtheta
Vamos separar as integrais:
integral0^2pi sin^2 theta dtheta = integral0^2pi cos^2 theta dtheta = pi
Primeira integral:
263 (pi - pi) = 0
Então:
integral1^3 r^4 dr = [ r^55 ]1^3 = 2435 - 15 = 2425
Sabemos que:
2425 integral0^2pi dtheta = 2425 times 2pi = 4845 pi
Então:
Segunda integral:
E multiplicando pela integral em :

Resposta

A integral de superfície é .

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