Calcule as integrais de linha.
d) , sendo descrita pela figura:
!

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! A questão quer que a gente calcule uma integral de linha do campo vetorial ao longo de uma curva fechada . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, conhecer um pouco sobre campos vetoriais conservativos e, possivelmente, aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva . Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, .

Passo 3

Observando o campo vetorial , percebemos que ele se assemelha a um campo rotacional. De fato, se fizermos uma mudança para coordenadas polares , onde e , o campo fica:
Isso sugere que está relacionado à derivada da função ângulo .

Passo 4

Vamos calcular o que a integral representa. Em coordenadas polares, o elemento de arco pode ser escrito como:
Então, o produto interno fica:
Portanto, a integral de linha se reduz a:

Passo 5

A integral representa a variação total do ângulo ao redor da curva fechada . Se a curva dá uma volta completa ao redor da origem exatamente uma vez, então:
Isso porque uma volta completa corresponde a um ângulo de ou radianos.

Resposta

Exercícios relacionados

Considere a curva com .
a) Se representa um arame com densidade linear de massa , determine a massa desse arame.
Considere e como nas hipóteses do Teorema de Green.
a) Prove que .
Supondo que , determine .