Calcule as integrais de linha.
d)
, sendo
descrita pela figura:
!
d)
!
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! A questão quer que a gente calcule uma integral de linha do campo vetorial
ao longo de uma curva fechada
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, conhecer um pouco sobre campos vetoriais conservativos e, possivelmente, aplicar o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial
ao longo de uma curva
. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso,
.
Passo 3
Observando o campo vetorial
, percebemos que ele se assemelha a um campo rotacional. De fato, se fizermos uma mudança para coordenadas polares
, onde
e
, o campo fica:
Isso sugere que
está relacionado à derivada da função ângulo
.
Passo 4
Vamos calcular o que a integral representa. Em coordenadas polares, o elemento de arco
pode ser escrito como:
Então, o produto interno
fica:
Portanto, a integral de linha se reduz a:
Passo 5
A integral
representa a variação total do ângulo
ao redor da curva fechada
. Se a curva
dá uma volta completa ao redor da origem exatamente uma vez, então:
Isso porque uma volta completa corresponde a um ângulo de
ou
radianos.
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a curva
com
.
a) Se representa um arame com densidade linear de massa
, determine a massa desse arame.
a) Se
Considere
e
como nas hipóteses do Teorema de Green.
a) Prove que .
a) Prove que
Supondo que
, determine
.