Calcule as integrais de linha.
d) ointgamma -yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j d gamma, sendo gamma descrita pela figura:
!

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! A questão quer que a gente calcule uma integral de linha do campo vetorial ao longo de uma curva fechada . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, conhecer um pouco sobre campos vetoriais conservativos e, possivelmente, aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ointgamma F cdot dgamma ao longo de uma curva . Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, .

Passo 3

Observando o campo vetorial F = ( -sinthetar, costhetar ) , percebemos que ele se assemelha a um campo rotacional. De fato, se fizermos uma mudança para coordenadas polares , onde e , o campo fica:
Isso sugere que está relacionado à derivada da função ângulo .

Passo 4

Vamos calcular o que a integral representa. Em coordenadas polares, o elemento de arco dgamma = (-rsintheta, dtheta, rcostheta, dtheta) pode ser escrito como:
F cdot dgamma = ( -sinthetar )(-rsintheta, dtheta) + ( costhetar )(rcostheta, dtheta) = (sin^2theta + cos^2theta) dtheta = dtheta
Então, o produto interno ointgamma dtheta fica:
Portanto, a integral de linha se reduz a:

Passo 5

A integral ointgamma dtheta = 2pi representa a variação total do ângulo ao redor da curva fechada . Se a curva dá uma volta completa ao redor da origem exatamente uma vez, então:
Isso porque uma volta completa corresponde a um ângulo de ou radianos.

Resposta

2pi

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