Considere a curva com .
a) Se representa um arame com densidade linear de massa , determine a massa desse arame.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular a massa de um arame representado pela curva no intervalo . Para isso, vamos usar o conceito de densidade linear de massa, que aqui é dado pela função . Precisamos integrar essa função ao longo da curva para encontrar a massa total.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Isso significa que as coordenadas , e são funções de :
Para calcular a massa, precisamos encontrar a derivada da curva e o seu módulo, que representa o elemento de comprimento .
\

Passo 3

Calculando a derivada de em relação a :
Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada:
Sabemos que , então:
\

Passo 4

Agora, substituímos os valores de , e na função de densidade :
\

Passo 5

A massa do arame é dada pela integral da densidade ao longo da curva:
Podemos fatorar fora da integral:
\

Passo 6

Vamos resolver a integral separadamente:
Para a primeira integral, usamos integração por partes:
Para a segunda integral, usamos a identidade trigonométrica :
\

Passo 7

Agora, avaliamos as integrais definidas de a :
\

Passo 8

Somando os resultados das integrais:
Multiplicando pelo que havíamos fatorado:

Resposta

A massa do arame é unidades de massa.

Exercícios relacionados

Considere e como nas hipóteses do Teorema de Green.
a) Prove que .
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças de ao deslocar um corpo sobre o quadrilátero de vértices e , orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linha.
d) , sendo descrita pela figura:
!