Considere a curva
com
.
a) Se
representa um arame com densidade linear de massa
, determine a massa desse arame.
a) Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular a massa de um arame representado pela curva
no intervalo
. Para isso, vamos usar o conceito de densidade linear de massa, que aqui é dado pela função
. Precisamos integrar essa função ao longo da curva para encontrar a massa total.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Isso significa que as coordenadas
,
e
são funções de
:
Para calcular a massa, precisamos encontrar a derivada da curva
e o seu módulo, que representa o elemento de comprimento
.
\
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada:
Sabemos que
, então:
\
Passo 4
Agora, substituímos os valores de
,
e
na função de densidade
:
\
Passo 5
A massa
do arame é dada pela integral da densidade ao longo da curva:
Podemos fatorar
fora da integral:
\
Passo 6
Vamos resolver a integral separadamente:
Para a primeira integral, usamos integração por partes:
Para a segunda integral, usamos a identidade trigonométrica
:
\
Passo 7
Agora, avaliamos as integrais definidas de
a
:
\
Passo 8
Somando os resultados das integrais:
Multiplicando pelo
que havíamos fatorado:
Resposta
A massa do arame é
unidades de massa.
Exercícios relacionados
Considere
e
como nas hipóteses do Teorema de Green.
a) Prove que .
a) Prove que
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças de
ao deslocar um corpo sobre o quadrilátero de vértices
e
, orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linha.
d) , sendo
descrita pela figura:
!
d)
!