Considere B e gamma como nas hipóteses do Teorema de Green.
a) Prove que Área(B)=ointgamma-y i d gamma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que a área de uma região é igual a uma integral de linha específica ao redor da fronteira dessa região. O assunto aqui é o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas em um plano. Para resolver, vamos usar o Teorema de Green e entender como ele pode nos ajudar a relacionar a área com uma integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele afirma que para um campo vetorial ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaB ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA definido numa região simplesmente conexa com fronteira orientada positivamente, temos:

Passo 3

Agora, queremos relacionar a área de Área(B) = integral duplaB 1 , dA com uma integral de linha. A área Á pode ser expressa como uma integral dupla:
Á
Para usar o Teorema de Green, precisamos escolher e de forma que a expressão seja igual a 1.

Passo 4

Vamos escolher partial Qpartial x = partial 0partial x = 0 partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1 e partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - (-1) = 1 . Com essa escolha:
Então,

Passo 5

Substituindo esses valores no Teorema de Green, temos:
ointgamma (-y) , dx + 0 , dy = integral duplaB 1 , dA
Ou seja,
ointgamma -y , dx = Área(B) Á

Passo 6

Como ointgamma -y i , dgamma = Área(B) representa o vetor tangente à curva , e considerando que é o vetor unitário na direção x, podemos escrever a integral de linha na forma vetorial:
Á

Resposta

Área(B) = ointgamma -y i , dgamma Á

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