Considere e como nas hipóteses do Teorema de Green.
a) Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que a área de uma região é igual a uma integral de linha específica ao redor da fronteira dessa região. O assunto aqui é o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas em um plano. Para resolver, vamos usar o Teorema de Green e entender como ele pode nos ajudar a relacionar a área com uma integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele afirma que para um campo vetorial definido numa região simplesmente conexa com fronteira orientada positivamente, temos:

Passo 3

Agora, queremos relacionar a área de com uma integral de linha. A área Á pode ser expressa como uma integral dupla:
Á
Para usar o Teorema de Green, precisamos escolher e de forma que a expressão seja igual a 1.

Passo 4

Vamos escolher e . Com essa escolha:
Então,

Passo 5

Substituindo esses valores no Teorema de Green, temos:
Ou seja,
Á

Passo 6

Como representa o vetor tangente à curva , e considerando que é o vetor unitário na direção x, podemos escrever a integral de linha na forma vetorial:
Á

Resposta

Á

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Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças de ao deslocar um corpo sobre o quadrilátero de vértices e , orientado no sentido anti-horário.
Considere o conjunto e .
a) Escreva em coordenadas cilíndricas.
Considere a curva com .
a) Se representa um arame com densidade linear de massa , determine a massa desse arame.
Calcule as integrais de linha.
d) , sendo descrita pela figura:
!