Considere
e
como nas hipóteses do Teorema de Green.
a) Prove que
.
a) Prove que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que a área de uma região
é igual a uma integral de linha específica ao redor da fronteira
dessa região. O assunto aqui é o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas em um plano. Para resolver, vamos usar o Teorema de Green e entender como ele pode nos ajudar a relacionar a área com uma integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele afirma que para um campo vetorial
definido numa região simplesmente conexa
com fronteira
orientada positivamente, temos:
Passo 3
Agora, queremos relacionar a área de
com uma integral de linha. A área
pode ser expressa como uma integral dupla:
Para usar o Teorema de Green, precisamos escolher
e
de forma que a expressão
seja igual a 1.
Passo 4
Vamos escolher
e
. Com essa escolha:
Então,
Passo 5
Substituindo esses valores no Teorema de Green, temos:
Ou seja,
Passo 6
Como
representa o vetor tangente à curva
, e considerando que
é o vetor unitário na direção x, podemos escrever a integral de linha na forma vetorial:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças de
ao deslocar um corpo sobre o quadrilátero de vértices
e
, orientado no sentido anti-horário.
Considere o conjunto
e
.
a) Escreva em coordenadas cilíndricas.
a) Escreva
Considere a curva
com
.
a) Se representa um arame com densidade linear de massa
, determine a massa desse arame.
a) Se
Calcule as integrais de linha.
d) , sendo
descrita pela figura:
!
d)
!