Supondo que r(t) = < t^4, t, t^2 >, determine r'(t), T(1), r''(t) e r'(t) x r''(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função vetorial e pede para a gente encontrar a sua derivada primeira r'(t), o vetor tangente unitário no ponto t = 1, que é , a derivada segunda r''(t) e o produto vetorial entre a primeira e a segunda derivada, r'(t) x r''(t). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas de funções vetoriais e operações com vetores, como a normalização e o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função vetorial r(t). A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente da função em relação a t.
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário T(t). O vetor tangente unitário é obtido normalizando a derivada primeira, ou seja, dividindo a derivada primeira pelo seu comprimento (módulo).
Primeiro, calculamos o módulo de r'(t):
Então, o vetor tangente unitário é:
Para encontrar , substituímos :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada segunda da função vetorial r(t). Isso significa derivar a derivada primeira r'(t) em relação a t.
Então,

Passo 5

Por fim, vamos calcular o produto vetorial entre a derivada primeira e a derivada segunda, ou seja, r'(t) x r''(t). O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso:

Resposta

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