Supondo que
, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função vetorial
e pede para a gente encontrar a sua derivada primeira
, o vetor tangente unitário no ponto
, que é
, a derivada segunda
e o produto vetorial entre a primeira e a segunda derivada,
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas de funções vetoriais e operações com vetores, como a normalização e o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente da função em relação a
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário
. O vetor tangente unitário é obtido normalizando a derivada primeira, ou seja, dividindo a derivada primeira pelo seu comprimento (módulo).
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor tangente unitário é:
Para encontrar
, substituímos
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada segunda da função vetorial
. Isso significa derivar a derivada primeira
em relação a
.
Então,
Passo 5
Por fim, vamos calcular o produto vetorial entre a derivada primeira e a derivada segunda, ou seja,
. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso:
Resposta
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Calcule as integrais de linha.
d) , sendo
descrita pela figura:
!
d)
!
Determine
supondo que
.