Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(b)
, onde
é o caminho fechado formado por
e
, orientado positivamente.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha
onde
é um caminho fechado formado pelas curvas
,
e
, orientado positivamente. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver isso, vamos calcular a integral diretamente parametrizando cada segmento do caminho e também aplicar o Teorema de Green para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral diretamente. O caminho
é composto por três partes:
-
De
a ao longo de : - Aqui,
e . - A integral fica:
.
- Aqui,
-
De
a ao longo de : - Aqui,
e . - Substituindo na integral:
.
- Aqui,
-
De
a ao longo de : - Podemos parametrizar com
indo de a , então e . - Substituindo na integral:
.
- Podemos parametrizar com
Somando as três partes:
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por ela. O Teorema de Green diz:
Onde
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Agora, definimos a região
limitada por
,
e
. Podemos expressar a integral dupla como:
Resolvendo a integral interna:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral de linha
vale
tanto calculada diretamente quanto pelo Teorema de Green.