Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(b) integralC(x y-y^2) d x+(x y) d y, onde C é o caminho fechado formado por y=0, x=1 e y=x, orientado positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha integralC(x y - y^2) dx + (x y) dy onde C é um caminho fechado formado pelas curvas y=0, x=1 e y=x, orientado positivamente. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver isso, vamos calcular a integral diretamente parametrizando cada segmento do caminho e também aplicar o Teorema de Green para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral diretamente. O caminho C é composto por três partes:
  1. De (0,0) a (1,0) ao longo de y=0:
    • Aqui, y=0 e dy=0.
    • A integral fica: integral0^1 (x cdot 0 - 0^2) dx + (x cdot 0) dy = 0.
  2. De (1,0) a (1,1) ao longo de x=1:
    • Aqui, x=1 e dx=0.
    • Substituindo na integral: integral0^1 (1 cdot y - y^2) cdot 0 + (1 cdot y) dy = integral0^1 y , dy = [y^22]0^1 = 12.
  3. De (1,1) a (0,0) ao longo de y=x:
    • Podemos parametrizar com x indo de 1 a 0, então y=x e dy=dx.
    • Substituindo na integral: integral1^0 (x cdot x - x^2) dx + (x cdot x) dx = integral1^0 (x^2 - x^2) dx + x^2 dx = integral1^0 x^2 dx = -integral0^1 x^2 dx = -[x^33]0^1 = -13.
Somando as três partes: 0 + 12 - 13 = 12 - 13 = 16.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por ela. O Teorema de Green diz:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde P = x y - y^2 e Q = x y.
Calculando as derivadas parciais:
  • partial Qpartial x = y
  • partial Ppartial y = x - 2y
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y - (x - 2y) = -x + 3y
Agora, definimos a região D limitada por y=0, x=1 e y=x. Podemos expressar a integral dupla como:
integral duplaD (-x + 3y) , dA = integral0^1 integral0^x (-x + 3y) , dy , dx
Resolvendo a integral interna:
integral0^x (-x + 3y) , dy = [-x y + 32 y^2]0^x = -x^2 + 32 x^2 = 12 x^2
Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 12 x^2 , dx = 12 [x^33]0^1 = 12 cdot 13 = 16

Resposta

A integral de linha integralC(x y - y^2) dx + (x y) dy vale 16 tanto calculada diretamente quanto pelo Teorema de Green.

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