Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(b) , onde é o caminho fechado formado por e , orientado positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha onde é um caminho fechado formado pelas curvas , e , orientado positivamente. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver isso, vamos calcular a integral diretamente parametrizando cada segmento do caminho e também aplicar o Teorema de Green para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral diretamente. O caminho é composto por três partes:
  1. De a ao longo de :
    • Aqui, e .
    • A integral fica: .
  2. De a ao longo de :
    • Aqui, e .
    • Substituindo na integral: .
  3. De a ao longo de :
    • Podemos parametrizar com indo de a , então e .
    • Substituindo na integral: .
Somando as três partes: .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por ela. O Teorema de Green diz:
Onde e .
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Agora, definimos a região limitada por , e . Podemos expressar a integral dupla como:
Resolvendo a integral interna:
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral de linha vale tanto calculada diretamente quanto pelo Teorema de Green.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
(a) , onde é a circunferência .
Uma partícula de peso desce de a ao longo da parábola . Agem sobre a partícula a força da gravidade e também uma força horizontal dirigida para a direita, de módulo igual à coordenada do ponto. Determine o trabalho realizado por essas duas forças.
Calcule as seguintes integrais:
(d) onde é o arco de parábola , orientado
de a .
Seja de classe , tal que . Considere o campo . Calcule , onde é a curva formada por e .