Calcule as seguintes integrais:
(d) onde é o arco de parábola , orientado
de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
onde é o arco da parábola , indo de até . Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é descrita pela parábola , e queremos ir de a . Vamos parametrizar essa curva usando como parâmetro, já que depende de .
Então, nossa parametrização será:
onde varia de a .

Passo 3

Com a parametrização pronta, precisamos calcular as derivadas de e em relação a :
Isso nos ajudará a substituir e na integral original.

Passo 4

Agora, vamos substituir , , e na integral original:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos agora dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 6

Primeiro, vamos resolver :
Calculando cada integral:
  • : Essa integral não tem uma forma elementar e geralmente é resolvida numericamente.
  • .
  • .
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos resolver :
Para essa integral, podemos usar substituição. Vamos deixar , então . Observando a simetria da função:
Note que a função é uma função ímpar e não é par nem ímpar. Porém, ao multiplicar por , mantemos a forma impar, e integrando de a , a integral de uma função ímpar nesse intervalo é zero.
Portanto:

Passo 8

Voltando a , temos:
A primeira parte, , é uma integral que não pode ser expressa em termos de funções elementares. Geralmente, ela é resolvida numericamente ou deixada na forma de uma integral definida.

Passo 9

Finalmente, somando e :
Como a parte que envolve a integral não tem uma forma fechada, a resposta final fica expressa dessa maneira.

Resposta

A integral vale .

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Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(b) , onde é o caminho fechado formado por e , orientado positivamente.
Calcule as seguintes integrais:
(a) , onde é a circunferência .
Seja de classe , tal que . Considere o campo . Calcule , onde é a curva formada por e .
Calcule as seguintes integrais:
(e) , onde é a fronteira da região limitada pelas curvas e .