Calcule as seguintes integrais:
(d) integralC(e^x ln y-2 y) d x+(y^-1 e^x) d y, onde C é o arco de parábola y=x^2+1, orientado
de (-1,2) a (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
integralC(e^x ln y - 2 y) dx + (e^xy) dy,
onde é o arco da parábola , indo de até . Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva x = t, y = t^2 + 1, . Ela é descrita pela parábola , e queremos ir de a . Vamos parametrizar essa curva usando como parâmetro, já que depende de .
Então, nossa parametrização será:
onde varia de a .

Passo 3

Com a parametrização pronta, precisamos calcular as derivadas de dxdt = 1, dydt = 2t e em relação a :
Isso nos ajudará a substituir e na integral original.

Passo 4

Agora, vamos substituir integralC(e^x ln y - 2 y) dx + (e^xy) dy = integral-1^1 (e^t ln(t^2 + 1) - 2(t^2 + 1)) cdot 1 , dt + integral-1^1 (e^tt^2 + 1) cdot 2t , dt , integral-1^1 (e^t ln(t^2 + 1) - 2t^2 - 2) dt + 2 integral-1^1 t e^tt^2 + 1 dt , e na integral original:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos agora dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
I1 = integral-1^1 (e^t ln(t^2 + 1) - 2t^2 - 2) dt,
I2 = 2 integral-1^1 t e^tt^2 + 1 dt
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 6

Primeiro, vamos resolver I1 = integral-1^1 e^t ln(t^2 + 1) dt - integral-1^1 2t^2 dt - integral-1^1 2 dt :
I1 = integral-1^1 e^t ln(t^2 + 1) dt - 43 - 4
Calculando cada integral:
  • : Essa integral não tem uma forma elementar e geralmente é resolvida numericamente.
  • .
  • .
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos resolver I2 = 2 integral-1^1 t e^tt^2 + 1 dt :
I2 = 0
Para essa integral, podemos usar substituição. Vamos deixar , então . Observando a simetria da função:
Note que a função é uma função ímpar e não é par nem ímpar. Porém, ao multiplicar por , mantemos a forma impar, e integrando de a , a integral de uma função ímpar nesse intervalo é zero.
Portanto:

Passo 8

Voltando a I1 = integral-1^1 e^t ln(t^2 + 1) dt - 43 - 4 , temos:
A primeira parte, , é uma integral que não pode ser expressa em termos de funções elementares. Geralmente, ela é resolvida numericamente ou deixada na forma de uma integral definida.

Passo 9

Finalmente, somando integralC(e^x ln y - 2 y) dx + (e^xy) dy = integral-1^1 e^t ln(t^2 + 1) dt - 43 - 4 e :
Como a parte que envolve a integral não tem uma forma fechada, a resposta final fica expressa dessa maneira.

Resposta

A integral vale .

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