Calcule as seguintes integrais:
(d)
onde
é o arco de parábola
, orientado
de
a
.
(d)
de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
onde
é o arco da parábola
, indo de
até
. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é descrita pela parábola
, e queremos ir de
a
. Vamos parametrizar essa curva usando
como parâmetro, já que
depende de
.
Então, nossa parametrização será:
onde
varia de
a
.
Passo 3
Com a parametrização pronta, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Isso nos ajudará a substituir
e
na integral original.
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
,
e
na integral original:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos agora dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 6
Primeiro, vamos resolver
:
Calculando cada integral:
-
: Essa integral não tem uma forma elementar e geralmente é resolvida numericamente. -
. -
.
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos resolver
:
Para essa integral, podemos usar substituição. Vamos deixar
, então
. Observando a simetria da função:
Note que a função
é uma função ímpar e
não é par nem ímpar. Porém, ao multiplicar por
, mantemos a forma impar, e integrando de
a
, a integral de uma função ímpar nesse intervalo é zero.
Portanto:
Passo 8
Voltando a
, temos:
A primeira parte,
, é uma integral que não pode ser expressa em termos de funções elementares. Geralmente, ela é resolvida numericamente ou deixada na forma de uma integral definida.
Passo 9
Finalmente, somando
e
:
Como a parte que envolve a integral não tem uma forma fechada, a resposta final fica expressa dessa maneira.
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(b) , onde
é o caminho fechado formado por
e
, orientado positivamente.
(b)
Calcule as seguintes integrais:
(a) , onde
é a circunferência
.
(a)
Seja
de classe
, tal que
. Considere o campo
. Calcule
, onde
é a curva formada por
e
.
Calcule as seguintes integrais:
(e) , onde
é a fronteira da região limitada pelas curvas
e
.
(e)