Seja
de classe
, tal que
. Considere o campo
. Calcule
, onde
é a curva formada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
que é duas vezes diferenciável (
) e satisfaz a equação
, onde
é o operador laplaciano. Além disso, temos um campo vetorial
. A pergunta é para calcular a integral de
ao longo da curva
, que é formada pelas curvas
e
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que a curva delimita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o campo vetorial
. Ele é dado por:
Vamos verificar se
é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que
seja o gradiente dessa função. Para isso, calculamos o rotacional de
:
Sabemos que
, então:
Como o rotacional não é zero,
não é um campo conservativo, o que significa que podemos aplicar o Teorema de Green para calcular a integral de linha.
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
. No nosso caso,
e
. Já calculamos que
, então a integral de linha se transforma em:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a região
delimitada pela curva
. A curva
é formada pelas curvas
e
. Para encontrar os limites de integração, primeiro encontramos os pontos de interseção dessas duas curvas:
Vamos considerar o intervalo
, já que entre
e
, as curvas se comportam de maneira similar, mas para simplificar, focaremos no intervalo positivo.
Passo 5
Dentro do intervalo
, a curva
está abaixo de
. Portanto, a região
está limitada por
(limite inferior) e
(limite superior).
A integral dupla fica então:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando cada integral separadamente:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
(d) onde
é o arco de parábola
, orientado
de a
.
(d)
de
Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(b) , onde
é o caminho fechado formado por
e
, orientado positivamente.
(b)
Calcule as seguintes integrais:
(e) , onde
é a fronteira da região limitada pelas curvas
e
.
(e)
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
, ao mover uma partícula ao longo da trajetória
dada por
.