Seja de classe , tal que . Considere o campo . Calcule , onde é a curva formada por e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que é duas vezes diferenciável ( ) e satisfaz a equação , onde é o operador laplaciano. Além disso, temos um campo vetorial . A pergunta é para calcular a integral de ao longo da curva , que é formada pelas curvas e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que a curva delimita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo vetorial . Ele é dado por:
Vamos verificar se é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que seja o gradiente dessa função. Para isso, calculamos o rotacional de :
Sabemos que , então:
Como o rotacional não é zero, não é um campo conservativo, o que significa que podemos aplicar o Teorema de Green para calcular a integral de linha.

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
Onde . No nosso caso, e . Já calculamos que , então a integral de linha se transforma em:

Passo 4

Agora, precisamos determinar a região delimitada pela curva . A curva é formada pelas curvas e . Para encontrar os limites de integração, primeiro encontramos os pontos de interseção dessas duas curvas:
Vamos considerar o intervalo , já que entre e , as curvas se comportam de maneira similar, mas para simplificar, focaremos no intervalo positivo.

Passo 5

Dentro do intervalo , a curva está abaixo de . Portanto, a região está limitada por (limite inferior) e (limite superior).
A integral dupla fica então:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, integramos em relação a :
Calculando cada integral separadamente:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
(d) onde é o arco de parábola , orientado
de a .
Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(b) , onde é o caminho fechado formado por e , orientado positivamente.
Calcule as seguintes integrais:
(e) , onde é a fronteira da região limitada pelas curvas e .
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças , ao mover uma partícula ao longo da trajetória dada por .