Seja varphi: R^2 longrightarrow R de classe C^2, tal que nabla^2 varphi=-3 x. Considere o campo F=(partial varphipartial y,-partial varphipartial x). Calcule ointC F cdot d r, onde C é a curva formada por y=x^3 e y=x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que é duas vezes diferenciável ( ) e satisfaz a equação , onde é o operador laplaciano. Além disso, temos um campo vetorial . A pergunta é para calcular a integral de ao longo da curva , que é formada pelas curvas e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que a curva delimita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo vetorial F = (partial varphipartial y, -partial varphipartial x) . Ele é dado por:
rot , F = partialpartial x (-partial varphipartial x) - partialpartial y (partial varphipartial y) = -partial^2 varphipartial x^2 - partial^2 varphipartial y^2 = -nabla^2 varphi
Vamos verificar se rot , F = 3x é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que seja o gradiente dessa função. Para isso, calculamos o rotacional de :
Sabemos que , então:
Como o rotacional não é zero, não é um campo conservativo, o que significa que podemos aplicar o Teorema de Green para calcular a integral de linha.

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaA ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde ointC F cdot dr = integral duplaA 3x , dA . No nosso caso, e . Já calculamos que , então a integral de linha se transforma em:

Passo 4

Agora, precisamos determinar a região x^3 = x implies x^3 - x = 0 implies x(x^2 - 1) = 0 implies x = 0, , x = 1, , x = -1 delimitada pela curva . A curva é formada pelas curvas e . Para encontrar os limites de integração, primeiro encontramos os pontos de interseção dessas duas curvas:
Vamos considerar o intervalo , já que entre e , as curvas se comportam de maneira similar, mas para simplificar, focaremos no intervalo positivo.

Passo 5

Dentro do intervalo integral duplaA 3x , dA = integralx=0^1 integraly=x^3^x 3x , dy , dx , a curva está abaixo de . Portanto, a região está limitada por (limite inferior) e (limite superior).
A integral dupla fica então:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integraly=x^3^x 3x , dy = 3x cdot (x - x^3) = 3x^2 - 3x^4
Agora, integramos em relação a integral0^1 (3x^2 - 3x^4) , dx = 3 integral0^1 x^2 , dx - 3 integral0^1 x^4 , dx :
3 [ x^33 ]0^1 - 3 [ x^55 ]0^1 = 3 ( 13 - 0 ) - 3 ( 15 - 0 ) = 1 - 35 = 25
Calculando cada integral separadamente:

Resposta

A integral é igual a .

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