Calcule as seguintes integrais:
(a)
, onde
é a circunferência
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha
, onde
é a circunferência
. Esse exercício envolve cálculo de integrais de linha e, pra resolver, vamos usar o teorema de Green. Vamos precisar identificar se o campo é conservativo e aplicar as ferramentas de cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial. Temos:
Para saber se podemos simplificar a integral, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se as derivadas cruzadas forem iguais, ou seja, se
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo não é conservativo. Então, não podemos simplesmente achar um potencial e calcular a diferença. Precisamos usar o teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada por
.
Passo 4
O teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região interna à circunferência
. Vamos calcular a diferença das derivadas:
Passo 5
Agora, temos que calcular a integral dupla:
A região
é um círculo de raio 2, então sua área é:
Passo 6
Multiplicando pela constante:
Resposta
A integral vale
.