Calcule as seguintes integrais:
(a) , onde é a circunferência .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha , onde é a circunferência . Esse exercício envolve cálculo de integrais de linha e, pra resolver, vamos usar o teorema de Green. Vamos precisar identificar se o campo é conservativo e aplicar as ferramentas de cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial. Temos:
Para saber se podemos simplificar a integral, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se as derivadas cruzadas forem iguais, ou seja, se .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , o campo não é conservativo. Então, não podemos simplesmente achar um potencial e calcular a diferença. Precisamos usar o teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada por .

Passo 4

O teorema de Green nos diz que:
Onde é a região interna à circunferência . Vamos calcular a diferença das derivadas:

Passo 5

Agora, temos que calcular a integral dupla:
Á
A região é um círculo de raio 2, então sua área é:
Á

Passo 6

Multiplicando pela constante:

Resposta

A integral vale .

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Calcule , onde
© e é a interseção das superfícies e , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma vez no sentido horário.
Calcule as integrais de linha diretamente e também pelo Teorema de Green:
(b) , onde é o caminho fechado formado por e , orientado positivamente.
Calcule as seguintes integrais:
(d) onde é o arco de parábola , orientado
de a .