Calcule as seguintes integrais:
(a) ointC(2 y+raiz[3]1+x^5) d x+(5 x-e^y^2) d y, onde C é a circunferência x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha , onde é a circunferência . Esse exercício envolve cálculo de integrais de linha e, pra resolver, vamos usar o teorema de Green. Vamos precisar identificar se o campo é conservativo e aplicar as ferramentas de cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial. Temos:
Para saber se podemos simplificar a integral, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se as derivadas cruzadas forem iguais, ou seja, se .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , o campo não é conservativo. Então, não podemos simplesmente achar um potencial e calcular a diferença. Precisamos usar o teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada por .

Passo 4

O teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde partial Qpartial x - partial Ppartial y = 5 - 2 = 3 é a região interna à circunferência . Vamos calcular a diferença das derivadas:

Passo 5

Agora, temos que calcular a integral dupla:
integral duplaD 3 , dA = 3 times Área de D Á
A região Área = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi é um círculo de raio 2, então sua área é:
Á

Passo 6

Multiplicando pela constante:
3 times 4pi = 12pi

Resposta

A integral vale .

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